Matemática
4 de dez. de 2025
423
3 páginas
Raquel Francisco @raquelfran_vwoly
Os modelos populacionais são ferramentas matemáticas essenciais para prever o crescimento ou declínio de populações ao longo do... Mostrar mais
Os modelos populacionais representam matematicamente como uma população evolui ao longo do tempo. Podem mostrar tanto crescimento positivo (aumento) como negativo (diminuição) e funcionam de duas formas principais discretos (mudanças ocorrem em intervalos específicos) ou contínuos (alterações acontecem constantemente).
No modelo de crescimento linear discreto, a população muda a uma taxa constante. Isto significa que a cada intervalo de tempo, adiciona-se ou subtrai-se sempre o mesmo valor à população. Matematicamente, representa-se como uma progressão aritmética onde é a população inicial, é a taxa de crescimento, e é o número de intervalos de tempo.
Para o modelo de crescimento linear contínuo, a fórmula é , onde é o tempo, e e são constantes. Este modelo é útil quando queremos analisar o crescimento em qualquer momento, não apenas em intervalos fixos.
⚠️ Atenção! O modelo linear é simples de usar, mas raramente reflete com precisão o crescimento populacional real, pois a maioria das populações não cresce a uma taxa constante absoluta durante longos períodos.
O modelo de crescimento exponencial reflete melhor como as populações reais crescem quando têm recursos ilimitados. Na versão discreta, a população multiplica-se por um fator constante a cada intervalo onde é o fator de crescimento. Se , a população aumenta; se , diminui.
Na forma contínua, o modelo exponencial é representado por onde é a taxa de crescimento e é o número de Euler.
O modelo logístico é mais realista, pois considera que recursos limitados eventualmente desaceleram o crescimento. A sua fórmula é
O gráfico deste modelo tem forma de "S" e mostra três fases distintas
💡 Dica prática O modelo logístico é frequentemente usado para descrever fenómenos reais como o crescimento populacional humano, a propagação de doenças ou a difusão de novas tecnologias.
O modelo de crescimento logarítmico é menos comum que os anteriores, mas útil em certas situações onde o crescimento desacelera drasticamente com o tempo. A sua fórmula é onde é uma constante, é a base do logaritmo (positiva e diferente de 1), e representa o tempo.
Para trabalhar com este modelo, é importante lembrar que o logaritmo de um número na base é o expoente ao qual devemos elevar para obter
Existem notações especiais para bases comuns
Para converter logaritmos entre diferentes bases, podemos usar ou
🔍 Observação importante O crescimento logarítmico é muito mais lento que o linear ou exponencial a longo prazo. Este modelo é útil para representar processos que se tornam cada vez mais difíceis com o tempo, como a aprendizagem de uma nova competência.
O nosso companheiro de aprendizagem com IA foi especificamente criado para as necessidades dos estudantes. Com base nos milhões de conteúdos que temos na plataforma, podemos fornecer respostas verdadeiramente significativas e relevantes para os estudantes. Mas não se trata apenas de respostas, o companheiro foca-se mais em guiar os estudantes através dos seus desafios diários de aprendizagem, com planos de estudo personalizados, quizzes ou conteúdos no chat e 100% de personalização baseada nas habilidades e desenvolvimentos do estudante.
Pode descarregar a aplicação na Google Play Store e na Apple App Store.
Sim, tem acesso gratuito ao conteúdo da aplicação e ao nosso companheiro de IA. Para desbloquear determinadas funcionalidades da aplicação, pode adquirir o Knowunity Pro.
12
Ferramentas Inteligentes NOVO
Transforma estes apontamentos em: ✓ 50+ Questões de Prática ✓ Cartões de Estudo Interactivos ✓ Exame Simulado Completo ✓ Esquemas de Ensaio
App Store
Google Play
A App é muito fácil de usar e está nem organizada. Encontrei tudo o que estava à procura até agora e consegui aprender muito com as apresentações! Vou usar a app para um trabalho escolar! E claro que também me ajuda muito como inspiração.
João S
utilizador iOS
Esta app é realmente incrível. Há tantas anotações de estudo e ajuda [...]. A minha disciplina problemática é Francês, por exemplo, e a app tem muitas opções de ajuda. Graças a esta app, melhorei o meu Francês. Eu recomendo a qualquer pessoa.
Sara C.
utilizadora Android
Uau, estou realmente impressionado. Acabei de experimentar o app porque o vi anunciado muitas vezes e fiquei absolutamente surpreso. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece tantas coisas, como exercícios e folhas de fatos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.
Ana
utilizadora iOS
Eu costumava ter dificuldade para completar os meus trabalhos a tempo até descobrir a Knowunity, que não só facilita o upload do meu próprio conteúdo, mas também oferece ótimos resumos que tornam o meu trabalho mais rápido e eficiente.
Tomás R
utilizador iOS
Sempre foi um desafio encontrar todas as informações importantes para os meus trabalhos – desde que comecei a usar a Knowunity, posso simplesmente fazer upload do meu conteúdo e aproveitar os resumos dos outros, o que me ajuda muito com a organização.
Luísa M
utilizadora Android
Eu frequentemente sentia que não tinha uma visão geral suficiente ao estudar, mas desde que comecei a usar o Knowunity, isso não acontece mais – faço upload do meu conteúdo e encontro sempre resumos úteis na plataforma, o que torna meu aprendizado muito mais fácil.
David F
utilizador iOS
O app é simplesmente incrível! Só preciso digitar o tema na barra de pesquisa e recebo a resposta super rápido. Não preciso assistir 10 vídeos no YouTube para entender algo, então economizo meu tempo. Super recomendo!
Marco O
utilizador Android
Na escola eu era péssimo em matemática, mas graças ao app, estou me saindo melhor agora. Sou muito grato por vocês terem criado o app.
André B
utilizador Android
Costumava ser muito difícil reunir todas as informações para minhas apresentações. Mas desde que comecei a usar o Knowunity, só preciso de carregar os meus apontamentos e encontrar resumos incríveis de outros - isso torna meu estudo muito mais eficiente!
Júlia S
utilizadora Android
Estava constantemente stressado com todo o material de estudo, mas desde que comecei a usar a Knowunity, carrego as minhas coisas e vejo os resumos dos outros - isto ajuda-me a gerir tudo melhor e é muito menos stressante.
Marco B
utilizador iOS
Foi sempre complicado encontrar os materiais certos para os meus trabalhos. Agora faço upload das minhas anotações na Knowunity e vejo os melhores resumos dos outros - isto realmente ajudou-me a entender tudo mais rápido e melhora as minhas notas.
Sarah L
utilizadora Android
Eu costumava passar horas no Google à procura de materiais escolares, mas agora só carrego as minhas coisas na Knowunity e vejo os resumos dos outros - sinto-me muito mais confiante quando me preparo para testes.
Paulo T
utilizador iOS
A App é muito fácil de usar e está nem organizada. Encontrei tudo o que estava à procura até agora e consegui aprender muito com as apresentações! Vou usar a app para um trabalho escolar! E claro que também me ajuda muito como inspiração.
João S
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Esta app é realmente incrível. Há tantas anotações de estudo e ajuda [...]. A minha disciplina problemática é Francês, por exemplo, e a app tem muitas opções de ajuda. Graças a esta app, melhorei o meu Francês. Eu recomendo a qualquer pessoa.
Sara C.
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Uau, estou realmente impressionado. Acabei de experimentar o app porque o vi anunciado muitas vezes e fiquei absolutamente surpreso. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece tantas coisas, como exercícios e folhas de fatos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.
Ana
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Eu costumava ter dificuldade para completar os meus trabalhos a tempo até descobrir a Knowunity, que não só facilita o upload do meu próprio conteúdo, mas também oferece ótimos resumos que tornam o meu trabalho mais rápido e eficiente.
Tomás R
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Sempre foi um desafio encontrar todas as informações importantes para os meus trabalhos – desde que comecei a usar a Knowunity, posso simplesmente fazer upload do meu conteúdo e aproveitar os resumos dos outros, o que me ajuda muito com a organização.
Luísa M
utilizadora Android
Eu frequentemente sentia que não tinha uma visão geral suficiente ao estudar, mas desde que comecei a usar o Knowunity, isso não acontece mais – faço upload do meu conteúdo e encontro sempre resumos úteis na plataforma, o que torna meu aprendizado muito mais fácil.
David F
utilizador iOS
O app é simplesmente incrível! Só preciso digitar o tema na barra de pesquisa e recebo a resposta super rápido. Não preciso assistir 10 vídeos no YouTube para entender algo, então economizo meu tempo. Super recomendo!
Marco O
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Na escola eu era péssimo em matemática, mas graças ao app, estou me saindo melhor agora. Sou muito grato por vocês terem criado o app.
André B
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Costumava ser muito difícil reunir todas as informações para minhas apresentações. Mas desde que comecei a usar o Knowunity, só preciso de carregar os meus apontamentos e encontrar resumos incríveis de outros - isso torna meu estudo muito mais eficiente!
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Estava constantemente stressado com todo o material de estudo, mas desde que comecei a usar a Knowunity, carrego as minhas coisas e vejo os resumos dos outros - isto ajuda-me a gerir tudo melhor e é muito menos stressante.
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Raquel Francisco
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Os modelos populacionais são ferramentas matemáticas essenciais para prever o crescimento ou declínio de populações ao longo do tempo. Estes modelos ajudam-nos a compreender padrões demográficos e a fazer previsões importantes sobre o futuro das populações, sejam elas humanas, animais... Mostrar mais
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Os modelos populacionais representam matematicamente como uma população evolui ao longo do tempo. Podem mostrar tanto crescimento positivo (aumento) como negativo (diminuição) e funcionam de duas formas principais: discretos (mudanças ocorrem em intervalos específicos) ou contínuos (alterações acontecem constantemente).
No modelo de crescimento linear discreto, a população muda a uma taxa constante. Isto significa que a cada intervalo de tempo, adiciona-se ou subtrai-se sempre o mesmo valor à população. Matematicamente, representa-se como uma progressão aritmética: onde é a população inicial, é a taxa de crescimento, e é o número de intervalos de tempo.
Para o modelo de crescimento linear contínuo, a fórmula é , onde é o tempo, e e são constantes. Este modelo é útil quando queremos analisar o crescimento em qualquer momento, não apenas em intervalos fixos.
⚠️ Atenção! O modelo linear é simples de usar, mas raramente reflete com precisão o crescimento populacional real, pois a maioria das populações não cresce a uma taxa constante absoluta durante longos períodos.
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Na forma contínua, o modelo exponencial é representado por: onde é a taxa de crescimento e é o número de Euler.
O modelo logístico é mais realista, pois considera que recursos limitados eventualmente desaceleram o crescimento. A sua fórmula é:
O gráfico deste modelo tem forma de "S" e mostra três fases distintas:
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O modelo de crescimento logarítmico é menos comum que os anteriores, mas útil em certas situações onde o crescimento desacelera drasticamente com o tempo. A sua fórmula é: onde é uma constante, é a base do logaritmo (positiva e diferente de 1), e representa o tempo.
Para trabalhar com este modelo, é importante lembrar que o logaritmo de um número na base é o expoente ao qual devemos elevar para obter :
Existem notações especiais para bases comuns:
Para converter logaritmos entre diferentes bases, podemos usar: ou
🔍 Observação importante: O crescimento logarítmico é muito mais lento que o linear ou exponencial a longo prazo. Este modelo é útil para representar processos que se tornam cada vez mais difíceis com o tempo, como a aprendizagem de uma nova competência.
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Esta app é realmente incrível. Há tantas anotações de estudo e ajuda [...]. A minha disciplina problemática é Francês, por exemplo, e a app tem muitas opções de ajuda. Graças a esta app, melhorei o meu Francês. Eu recomendo a qualquer pessoa.
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Uau, estou realmente impressionado. Acabei de experimentar o app porque o vi anunciado muitas vezes e fiquei absolutamente surpreso. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece tantas coisas, como exercícios e folhas de fatos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.
Ana
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Eu costumava ter dificuldade para completar os meus trabalhos a tempo até descobrir a Knowunity, que não só facilita o upload do meu próprio conteúdo, mas também oferece ótimos resumos que tornam o meu trabalho mais rápido e eficiente.
Tomás R
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Sempre foi um desafio encontrar todas as informações importantes para os meus trabalhos – desde que comecei a usar a Knowunity, posso simplesmente fazer upload do meu conteúdo e aproveitar os resumos dos outros, o que me ajuda muito com a organização.
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Eu frequentemente sentia que não tinha uma visão geral suficiente ao estudar, mas desde que comecei a usar o Knowunity, isso não acontece mais – faço upload do meu conteúdo e encontro sempre resumos úteis na plataforma, o que torna meu aprendizado muito mais fácil.
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Costumava ser muito difícil reunir todas as informações para minhas apresentações. Mas desde que comecei a usar o Knowunity, só preciso de carregar os meus apontamentos e encontrar resumos incríveis de outros - isso torna meu estudo muito mais eficiente!
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Eu costumava passar horas no Google à procura de materiais escolares, mas agora só carrego as minhas coisas na Knowunity e vejo os resumos dos outros - sinto-me muito mais confiante quando me preparo para testes.
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A App é muito fácil de usar e está nem organizada. Encontrei tudo o que estava à procura até agora e consegui aprender muito com as apresentações! Vou usar a app para um trabalho escolar! E claro que também me ajuda muito como inspiração.
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Esta app é realmente incrível. Há tantas anotações de estudo e ajuda [...]. A minha disciplina problemática é Francês, por exemplo, e a app tem muitas opções de ajuda. Graças a esta app, melhorei o meu Francês. Eu recomendo a qualquer pessoa.
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Uau, estou realmente impressionado. Acabei de experimentar o app porque o vi anunciado muitas vezes e fiquei absolutamente surpreso. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece tantas coisas, como exercícios e folhas de fatos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.
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Eu costumava ter dificuldade para completar os meus trabalhos a tempo até descobrir a Knowunity, que não só facilita o upload do meu próprio conteúdo, mas também oferece ótimos resumos que tornam o meu trabalho mais rápido e eficiente.
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Sempre foi um desafio encontrar todas as informações importantes para os meus trabalhos – desde que comecei a usar a Knowunity, posso simplesmente fazer upload do meu conteúdo e aproveitar os resumos dos outros, o que me ajuda muito com a organização.
Luísa M
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Eu frequentemente sentia que não tinha uma visão geral suficiente ao estudar, mas desde que comecei a usar o Knowunity, isso não acontece mais – faço upload do meu conteúdo e encontro sempre resumos úteis na plataforma, o que torna meu aprendizado muito mais fácil.
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Na escola eu era péssimo em matemática, mas graças ao app, estou me saindo melhor agora. Sou muito grato por vocês terem criado o app.
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Marco B
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Foi sempre complicado encontrar os materiais certos para os meus trabalhos. Agora faço upload das minhas anotações na Knowunity e vejo os melhores resumos dos outros - isto realmente ajudou-me a entender tudo mais rápido e melhora as minhas notas.
Sarah L
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Eu costumava passar horas no Google à procura de materiais escolares, mas agora só carrego as minhas coisas na Knowunity e vejo os resumos dos outros - sinto-me muito mais confiante quando me preparo para testes.
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