Distância Entre Dois Pontos e Ponto Médio

Quando queremos medir a distância entre dois pontos no plano cartesiano, usamos a fórmula:

$\overline{AB} = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Por exemplo, se temos os pontos A$-2,1$ e B$4,-3$, a distância entre eles será: $\overline{AB}=\sqrt{(4+2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$

Para encontrar o ponto médio de um segmento de reta [AB], calculamos a média das coordenadas dos pontos: $M(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2})$

💡 O ponto médio é equidistante dos pontos A e B, ou seja: a distância do ponto médio até A é igual à distância do ponto médio até B, sendo igual à metade da distância total entre A e B.

Mediatriz e Circunferência

A mediatriz de um segmento [AB] é a reta que contém todos os pontos equidistantes de A e B. Esta reta passa pelo ponto médio de [AB] e é perpendicular ao segmento.

Para encontrar a equação da mediatriz, usamos a condição de que qualquer ponto P da mediatriz satisfaz: $\overline{AP}=\overline{BP}$

Matematicamente, isso traduz-se na equação: $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=(x-x_B)^2+(y-y_B)^2$

Simplificando, obtemos uma equação da reta. Por exemplo, para A(2,1) e B$-3,2$, a mediatriz é $y=5x+4$.

Uma circunferência de centro C e raio r é definida pela equação: $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$

💡 A mediatriz é um lugar geométrico poderoso: qualquer ponto nela pode ser o centro de uma circunferência que passa pelos dois pontos A e B!

Exemplos e Transformações de Pontos

Para uma circunferência com centro C$-1,1$ e raio 2, a equação é: $(x+1)^2+(y-1)^2=4$

Se temos um centro C$-2,0$ e sabemos que a circunferência passa pelo ponto A$1,-4$, calculamos o raio: $\overline{AC}=\sqrt{(-2-1)^2+(0+4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

A equação da circunferência será: $(x+2)^2+y^2=25$

As transformações de pontos alteram a posição de pontos no plano:

1. Reflexão horizontal (em relação ao eixo y): P(x,y) → P'$-x,y$
2. Rotação de 180° em torno da origem: P(x,y) → P'$-x,-y$
3. Reflexão vertical (em relação ao eixo x): P(x,y) → P'$x,-y$

🔑 Estas transformações são fundamentais na geometria pois mantêm propriedades importantes como distâncias e ângulos, permitindo resolver problemas complexos com maior facilidade.