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Geometria - Conceitos Essenciais do 10º Ano

25

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M

Mafalda Lopes

22/11/2025

Matemática

geometria

746

•

22 de nov. de 2025

•

3 páginas

Geometria - Conceitos Essenciais do 10º Ano

M

Mafalda Lopes

@mafaldalopes

A geometria no plano é um dos pilares fundamentais da... Mostrar mais

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# Geometnia no plano: ⇒ DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS (no plano): • Seja o referencial ontonormado xOy, Sabe-se que A e B soo dois pontos ta

Distância Entre Dois Pontos e Ponto Médio

Quando queremos medir a distância entre dois pontos no plano cartesiano, usamos a fórmula:

AB‾=(xB−xA)2+(yB−yA)2\overline{AB} = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Por exemplo, se temos os pontos A(-2,1) e B(4,-3), a distância entre eles será: AB‾=(4+2)2+(−3−1)2=36+16=52=213\overline{AB}=\sqrt{(4+2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}

Para encontrar o ponto médio de um segmento de reta ABAB, calculamos a média das coordenadas dos pontos: M(xA+xB2,yA+yB2)M(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2})

💡 O ponto médio é equidistante dos pontos A e B, ou seja: a distância do ponto médio até A é igual à distância do ponto médio até B, sendo igual à metade da distância total entre A e B.

# Geometnia no plano: ⇒ DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS (no plano): • Seja o referencial ontonormado xOy, Sabe-se que A e B soo dois pontos ta

Mediatriz e Circunferência

A mediatriz de um segmento ABAB é a reta que contém todos os pontos equidistantes de A e B. Esta reta passa pelo ponto médio de ABAB e é perpendicular ao segmento.

Para encontrar a equação da mediatriz, usamos a condição de que qualquer ponto P da mediatriz satisfaz: AP‾=BP‾\overline{AP}=\overline{BP}

Matematicamente, isso traduz-se na equação: (x−xA)2+(y−yA)2=(x−xB)2+(y−yB)2(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=(x-x_B)^2+(y-y_B)^2

Simplificando, obtemos uma equação da reta. Por exemplo, para A(2,1) e B(-3,2), a mediatriz é y=5x+4y=5x+4.

Uma circunferência de centro C e raio r é definida pela equação: (x−xC)2+(y−yC)2=r2(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2

💡 A mediatriz é um lugar geométrico poderoso: qualquer ponto nela pode ser o centro de uma circunferência que passa pelos dois pontos A e B!

# Geometnia no plano: ⇒ DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS (no plano): • Seja o referencial ontonormado xOy, Sabe-se que A e B soo dois pontos ta

Exemplos e Transformações de Pontos

Para uma circunferência com centro C(-1,1) e raio 2, a equação é: (x+1)2+(y−1)2=4(x+1)^2+(y-1)^2=4

Se temos um centro C(-2,0) e sabemos que a circunferência passa pelo ponto A(1,-4), calculamos o raio: AC‾=(−2−1)2+(0+4)2=9+16=25=5\overline{AC}=\sqrt{(-2-1)^2+(0+4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

A equação da circunferência será: (x+2)2+y2=25(x+2)^2+y^2=25

As transformações de pontos alteram a posição de pontos no plano:

  1. Reflexão horizontal (em relação ao eixo y): P(x,y) → P'−x,y-x,y
  2. Rotação de 180° em torno da origem: P(x,y) → P'−x,−y-x,-y
  3. Reflexão vertical (em relação ao eixo x): P(x,y) → P'x,−yx,-y

🔑 Estas transformações são fundamentais na geometria pois mantêm propriedades importantes como distâncias e ângulos, permitindo resolver problemas complexos com maior facilidade.



Pensávamos que não ias perguntar...

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Google Play

A App é muito fácil de usar e está nem organizada. Encontrei tudo o que estava à procura até agora e consegui aprender muito com as apresentações! Vou usar a app para um trabalho escolar! E claro que também me ajuda muito como inspiração.

João S

utilizador iOS

Esta app é realmente incrível. Há tantas anotações de estudo e ajuda [...]. A minha disciplina problemática é Francês, por exemplo, e a app tem muitas opções de ajuda. Graças a esta app, melhorei o meu Francês. Eu recomendo a qualquer pessoa.

Sara C.

utilizadora Android

Uau, estou realmente impressionado. Acabei de experimentar o app porque o vi anunciado muitas vezes e fiquei absolutamente surpreso. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece tantas coisas, como exercícios e folhas de fatos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.

Ana

utilizadora iOS

Eu costumava ter dificuldade para completar os meus trabalhos a tempo até descobrir a Knowunity, que não só facilita o upload do meu próprio conteúdo, mas também oferece ótimos resumos que tornam o meu trabalho mais rápido e eficiente.

Tomás R

utilizador iOS

Sempre foi um desafio encontrar todas as informações importantes para os meus trabalhos – desde que comecei a usar a Knowunity, posso simplesmente fazer upload do meu conteúdo e aproveitar os resumos dos outros, o que me ajuda muito com a organização.

Luísa M

utilizadora Android

Eu frequentemente sentia que não tinha uma visão geral suficiente ao estudar, mas desde que comecei a usar o Knowunity, isso não acontece mais – faço upload do meu conteúdo e encontro sempre resumos úteis na plataforma, o que torna meu aprendizado muito mais fácil.

David F

utilizador iOS

O app é simplesmente incrível! Só preciso digitar o tema na barra de pesquisa e recebo a resposta super rápido. Não preciso assistir 10 vídeos no YouTube para entender algo, então economizo meu tempo. Super recomendo!

Marco O

utilizador Android

Na escola eu era péssimo em matemática, mas graças ao app, estou me saindo melhor agora. Sou muito grato por vocês terem criado o app.

André B

utilizador Android

Costumava ser muito difícil reunir todas as informações para minhas apresentações. Mas desde que comecei a usar o Knowunity, só preciso de carregar os meus apontamentos e encontrar resumos incríveis de outros - isso torna meu estudo muito mais eficiente!

Júlia S

utilizadora Android

Estava constantemente stressado com todo o material de estudo, mas desde que comecei a usar a Knowunity, carrego as minhas coisas e vejo os resumos dos outros - isto ajuda-me a gerir tudo melhor e é muito menos stressante.

Marco B

utilizador iOS

Foi sempre complicado encontrar os materiais certos para os meus trabalhos. Agora faço upload das minhas anotações na Knowunity e vejo os melhores resumos dos outros - isto realmente ajudou-me a entender tudo mais rápido e melhora as minhas notas.

Sarah L

utilizadora Android

Eu costumava passar horas no Google à procura de materiais escolares, mas agora só carrego as minhas coisas na Knowunity e vejo os resumos dos outros - sinto-me muito mais confiante quando me preparo para testes.

Paulo T

utilizador iOS

A App é muito fácil de usar e está nem organizada. Encontrei tudo o que estava à procura até agora e consegui aprender muito com as apresentações! Vou usar a app para um trabalho escolar! E claro que também me ajuda muito como inspiração.

João S

utilizador iOS

Esta app é realmente incrível. Há tantas anotações de estudo e ajuda [...]. A minha disciplina problemática é Francês, por exemplo, e a app tem muitas opções de ajuda. Graças a esta app, melhorei o meu Francês. Eu recomendo a qualquer pessoa.

Sara C.

utilizadora Android

Uau, estou realmente impressionado. Acabei de experimentar o app porque o vi anunciado muitas vezes e fiquei absolutamente surpreso. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece tantas coisas, como exercícios e folhas de fatos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.

Ana

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Eu costumava ter dificuldade para completar os meus trabalhos a tempo até descobrir a Knowunity, que não só facilita o upload do meu próprio conteúdo, mas também oferece ótimos resumos que tornam o meu trabalho mais rápido e eficiente.

Tomás R

utilizador iOS

Sempre foi um desafio encontrar todas as informações importantes para os meus trabalhos – desde que comecei a usar a Knowunity, posso simplesmente fazer upload do meu conteúdo e aproveitar os resumos dos outros, o que me ajuda muito com a organização.

Luísa M

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Eu frequentemente sentia que não tinha uma visão geral suficiente ao estudar, mas desde que comecei a usar o Knowunity, isso não acontece mais – faço upload do meu conteúdo e encontro sempre resumos úteis na plataforma, o que torna meu aprendizado muito mais fácil.

David F

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O app é simplesmente incrível! Só preciso digitar o tema na barra de pesquisa e recebo a resposta super rápido. Não preciso assistir 10 vídeos no YouTube para entender algo, então economizo meu tempo. Super recomendo!

Marco O

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Na escola eu era péssimo em matemática, mas graças ao app, estou me saindo melhor agora. Sou muito grato por vocês terem criado o app.

André B

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Costumava ser muito difícil reunir todas as informações para minhas apresentações. Mas desde que comecei a usar o Knowunity, só preciso de carregar os meus apontamentos e encontrar resumos incríveis de outros - isso torna meu estudo muito mais eficiente!

Júlia S

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Estava constantemente stressado com todo o material de estudo, mas desde que comecei a usar a Knowunity, carrego as minhas coisas e vejo os resumos dos outros - isto ajuda-me a gerir tudo melhor e é muito menos stressante.

Marco B

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Foi sempre complicado encontrar os materiais certos para os meus trabalhos. Agora faço upload das minhas anotações na Knowunity e vejo os melhores resumos dos outros - isto realmente ajudou-me a entender tudo mais rápido e melhora as minhas notas.

Sarah L

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Mafalda Lopes

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A geometria no plano é um dos pilares fundamentais da matemática que nos permite compreender e manipular relações espaciais. Estas notas abordam conceitos essenciais como cálculo de distâncias, pontos médios e propriedades de retas e circunferências no plano cartesiano.

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Distância Entre Dois Pontos e Ponto Médio

Quando queremos medir a distância entre dois pontos no plano cartesiano, usamos a fórmula:

AB‾=(xB−xA)2+(yB−yA)2\overline{AB} = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Por exemplo, se temos os pontos A(-2,1) e B(4,-3), a distância entre eles será: AB‾=(4+2)2+(−3−1)2=36+16=52=213\overline{AB}=\sqrt{(4+2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}

Para encontrar o ponto médio de um segmento de reta ABAB, calculamos a média das coordenadas dos pontos: M(xA+xB2,yA+yB2)M(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2})

💡 O ponto médio é equidistante dos pontos A e B, ou seja: a distância do ponto médio até A é igual à distância do ponto médio até B, sendo igual à metade da distância total entre A e B.

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Mediatriz e Circunferência

A mediatriz de um segmento ABAB é a reta que contém todos os pontos equidistantes de A e B. Esta reta passa pelo ponto médio de ABAB e é perpendicular ao segmento.

Para encontrar a equação da mediatriz, usamos a condição de que qualquer ponto P da mediatriz satisfaz: AP‾=BP‾\overline{AP}=\overline{BP}

Matematicamente, isso traduz-se na equação: (x−xA)2+(y−yA)2=(x−xB)2+(y−yB)2(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=(x-x_B)^2+(y-y_B)^2

Simplificando, obtemos uma equação da reta. Por exemplo, para A(2,1) e B(-3,2), a mediatriz é y=5x+4y=5x+4.

Uma circunferência de centro C e raio r é definida pela equação: (x−xC)2+(y−yC)2=r2(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2

💡 A mediatriz é um lugar geométrico poderoso: qualquer ponto nela pode ser o centro de uma circunferência que passa pelos dois pontos A e B!

# Geometnia no plano: ⇒ DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS (no plano): • Seja o referencial ontonormado xOy, Sabe-se que A e B soo dois pontos ta

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Exemplos e Transformações de Pontos

Para uma circunferência com centro C(-1,1) e raio 2, a equação é: (x+1)2+(y−1)2=4(x+1)^2+(y-1)^2=4

Se temos um centro C(-2,0) e sabemos que a circunferência passa pelo ponto A(1,-4), calculamos o raio: AC‾=(−2−1)2+(0+4)2=9+16=25=5\overline{AC}=\sqrt{(-2-1)^2+(0+4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

A equação da circunferência será: (x+2)2+y2=25(x+2)^2+y^2=25

As transformações de pontos alteram a posição de pontos no plano:

  1. Reflexão horizontal (em relação ao eixo y): P(x,y) → P'−x,y-x,y
  2. Rotação de 180° em torno da origem: P(x,y) → P'−x,−y-x,-y
  3. Reflexão vertical (em relação ao eixo x): P(x,y) → P'x,−yx,-y

🔑 Estas transformações são fundamentais na geometria pois mantêm propriedades importantes como distâncias e ângulos, permitindo resolver problemas complexos com maior facilidade.

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O nosso companheiro de aprendizagem com IA foi especificamente criado para as necessidades dos estudantes. Com base nos milhões de conteúdos que temos na plataforma, podemos fornecer respostas verdadeiramente significativas e relevantes para os estudantes. Mas não se trata apenas de respostas, o companheiro foca-se mais em guiar os estudantes através dos seus desafios diários de aprendizagem, com planos de estudo personalizados, quizzes ou conteúdos no chat e 100% de personalização baseada nas habilidades e desenvolvimentos do estudante.

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A App é muito fácil de usar e está nem organizada. Encontrei tudo o que estava à procura até agora e consegui aprender muito com as apresentações! Vou usar a app para um trabalho escolar! E claro que também me ajuda muito como inspiração.

João S

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Esta app é realmente incrível. Há tantas anotações de estudo e ajuda [...]. A minha disciplina problemática é Francês, por exemplo, e a app tem muitas opções de ajuda. Graças a esta app, melhorei o meu Francês. Eu recomendo a qualquer pessoa.

Sara C.

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Uau, estou realmente impressionado. Acabei de experimentar o app porque o vi anunciado muitas vezes e fiquei absolutamente surpreso. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece tantas coisas, como exercícios e folhas de fatos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.

Ana

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Eu costumava ter dificuldade para completar os meus trabalhos a tempo até descobrir a Knowunity, que não só facilita o upload do meu próprio conteúdo, mas também oferece ótimos resumos que tornam o meu trabalho mais rápido e eficiente.

Tomás R

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Sempre foi um desafio encontrar todas as informações importantes para os meus trabalhos – desde que comecei a usar a Knowunity, posso simplesmente fazer upload do meu conteúdo e aproveitar os resumos dos outros, o que me ajuda muito com a organização.

Luísa M

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Eu frequentemente sentia que não tinha uma visão geral suficiente ao estudar, mas desde que comecei a usar o Knowunity, isso não acontece mais – faço upload do meu conteúdo e encontro sempre resumos úteis na plataforma, o que torna meu aprendizado muito mais fácil.

David F

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O app é simplesmente incrível! Só preciso digitar o tema na barra de pesquisa e recebo a resposta super rápido. Não preciso assistir 10 vídeos no YouTube para entender algo, então economizo meu tempo. Super recomendo!

Marco O

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Na escola eu era péssimo em matemática, mas graças ao app, estou me saindo melhor agora. Sou muito grato por vocês terem criado o app.

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Costumava ser muito difícil reunir todas as informações para minhas apresentações. Mas desde que comecei a usar o Knowunity, só preciso de carregar os meus apontamentos e encontrar resumos incríveis de outros - isso torna meu estudo muito mais eficiente!

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Estava constantemente stressado com todo o material de estudo, mas desde que comecei a usar a Knowunity, carrego as minhas coisas e vejo os resumos dos outros - isto ajuda-me a gerir tudo melhor e é muito menos stressante.

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Foi sempre complicado encontrar os materiais certos para os meus trabalhos. Agora faço upload das minhas anotações na Knowunity e vejo os melhores resumos dos outros - isto realmente ajudou-me a entender tudo mais rápido e melhora as minhas notas.

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Eu costumava passar horas no Google à procura de materiais escolares, mas agora só carrego as minhas coisas na Knowunity e vejo os resumos dos outros - sinto-me muito mais confiante quando me preparo para testes.

Paulo T

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A App é muito fácil de usar e está nem organizada. Encontrei tudo o que estava à procura até agora e consegui aprender muito com as apresentações! Vou usar a app para um trabalho escolar! E claro que também me ajuda muito como inspiração.

João S

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Esta app é realmente incrível. Há tantas anotações de estudo e ajuda [...]. A minha disciplina problemática é Francês, por exemplo, e a app tem muitas opções de ajuda. Graças a esta app, melhorei o meu Francês. Eu recomendo a qualquer pessoa.

Sara C.

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Uau, estou realmente impressionado. Acabei de experimentar o app porque o vi anunciado muitas vezes e fiquei absolutamente surpreso. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece tantas coisas, como exercícios e folhas de fatos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.

Ana

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Eu costumava ter dificuldade para completar os meus trabalhos a tempo até descobrir a Knowunity, que não só facilita o upload do meu próprio conteúdo, mas também oferece ótimos resumos que tornam o meu trabalho mais rápido e eficiente.

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Sempre foi um desafio encontrar todas as informações importantes para os meus trabalhos – desde que comecei a usar a Knowunity, posso simplesmente fazer upload do meu conteúdo e aproveitar os resumos dos outros, o que me ajuda muito com a organização.

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O app é simplesmente incrível! Só preciso digitar o tema na barra de pesquisa e recebo a resposta super rápido. Não preciso assistir 10 vídeos no YouTube para entender algo, então economizo meu tempo. Super recomendo!

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Na escola eu era péssimo em matemática, mas graças ao app, estou me saindo melhor agora. Sou muito grato por vocês terem criado o app.

André B

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Costumava ser muito difícil reunir todas as informações para minhas apresentações. Mas desde que comecei a usar o Knowunity, só preciso de carregar os meus apontamentos e encontrar resumos incríveis de outros - isso torna meu estudo muito mais eficiente!

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Estava constantemente stressado com todo o material de estudo, mas desde que comecei a usar a Knowunity, carrego as minhas coisas e vejo os resumos dos outros - isto ajuda-me a gerir tudo melhor e é muito menos stressante.

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