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Joana
25/11/2025
Matemática
Resumos de matemática 9.º
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25 de nov. de 2025
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Joana
@vhzhea
O conjunto dos números reais é fundamental na matemática, agrupando... Mostrar mais
Os números reais (IR) englobam todos os valores numéricos e são divididos em dois grandes grupos: racionais e irracionais.
Os números racionais (Q) incluem os naturais (ℕ), inteiros (ℤ) e frações, podendo ser expressos como dízimas finitas (0,5) ou infinitas periódicas (1,(3)). Já os números irracionais são representados por dízimas infinitas não periódicas, como π ou √2.
Para indicar relações entre números e conjuntos, usamos símbolos específicos: ∈ (pertence), ∉ (não pertence), ⊂ (contido) e ⊃ (contém).
💡 Lembre-se que todo número racional pode ser escrito como fração, enquanto os irracionais nunca podem ser expressos desta forma!
A reta real é uma linha onde cada ponto corresponde a um número real. Os números positivos ficam à direita do zero, e os negativos à esquerda.
Para localizar pontos específicos na reta, usamos suas abcissas (coordenadas). Alguns valores podem ser determinados usando o teorema de Pitágoras , especialmente quando precisamos representar raízes quadradas.
A relação de ordem em IR tem propriedades importantes como a transitividade: se a > b e b > c, então a > c. Por exemplo, se 7 > 5 e 5 > 3, então 7 > 3.
💡 A reta real é infinita em ambas as direções, permitindo representar qualquer número real, por maior ou menor que seja!
A monotonia da adição estabelece que se a > b, então a + c > b + c para qualquer valor c. Quando adicionamos membros de desigualdades (a < b e c < d), obtemos a + c < b + d.
Na multiplicação, temos que se a < b e c > 0, então a × c < b × c. Porém, se c < 0, a desigualdade inverte: a × c > b × c.
Ao trabalhar com expressões com radicais, agrupamos termos semelhantes: 2√3 + 5√3 = 7√3, semelhante a 2x + 5x = 7x. Já para valores aproximados como π = 3,14159..., podemos usar aproximações por defeito ou excesso com erro controlado.
💡 Quando multiplicamos por um número negativo, a desigualdade muda de sentido! Este é um erro comum em exercícios.
Os intervalos são conjuntos de números reais que podem ser representados de diferentes formas:
Em compreensão, descrevemos o intervalo através de uma condição. Por exemplo, A = {x ∈ ℤ: -2 < x < 4} representa os inteiros entre -2 e 4 .
Em extensão, listamos todos os elementos: A = {-1, 0, 1, 2, 3}. Já na representação gráfica, usamos a reta numérica com parênteses para intervalos abertos e colchetes para fechados.
Os intervalos podem ser limitados como ou ilimitados como (-∞, 5]. As bolas abertas ( ) indicam que o número não está incluído, enquanto bolas fechadas mostram que está.
💡 Intervalos com infinitos elementos não podem ser representados em extensão! Use sempre a notação de intervalos com parênteses ou colchetes.
Os intervalos ilimitados estendem-se infinitamente em uma ou ambas as direções e são fundamentais para descrever conjuntos sem limites.
Para representar números menores que um valor, usamos ]-∞, a-∞, a]. Por exemplo, A = {x ∈ ℝ: x < 2/3} é escrito como ]-∞, 2/3[.
Para números maiores que um valor, usamos ]a, +∞[ ou [a, +∞-4π, +∞[.
O conjunto de todos os números reais é representado por ℝ = ]-∞, +∞[. Já os reais positivos são ℝ+ = ]0, +∞[.
💡 Importante! Ao lado de um símbolo de infinito (∞), o intervalo é sempre aberto, pois ∞ não é um número real e não pode ser incluído no conjunto.
O nosso companheiro de aprendizagem com IA foi especificamente criado para as necessidades dos estudantes. Com base nos milhões de conteúdos que temos na plataforma, podemos fornecer respostas verdadeiramente significativas e relevantes para os estudantes. Mas não se trata apenas de respostas, o companheiro foca-se mais em guiar os estudantes através dos seus desafios diários de aprendizagem, com planos de estudo personalizados, quizzes ou conteúdos no chat e 100% de personalização baseada nas habilidades e desenvolvimentos do estudante.
Pode descarregar a aplicação na Google Play Store e na Apple App Store.
Sim, tem acesso gratuito ao conteúdo da aplicação e ao nosso companheiro de IA. Para desbloquear determinadas funcionalidades da aplicação, pode adquirir o Knowunity Pro.
App Store
Google Play
A App é muito fácil de usar e está nem organizada. Encontrei tudo o que estava à procura até agora e consegui aprender muito com as apresentações! Vou usar a app para um trabalho escolar! E claro que também me ajuda muito como inspiração.
João S
utilizador iOS
Esta app é realmente incrível. Há tantas anotações de estudo e ajuda [...]. A minha disciplina problemática é Francês, por exemplo, e a app tem muitas opções de ajuda. Graças a esta app, melhorei o meu Francês. Eu recomendo a qualquer pessoa.
Sara C.
utilizadora Android
Uau, estou realmente impressionado. Acabei de experimentar o app porque o vi anunciado muitas vezes e fiquei absolutamente surpreso. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece tantas coisas, como exercícios e folhas de fatos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.
Ana
utilizadora iOS
Eu costumava ter dificuldade para completar os meus trabalhos a tempo até descobrir a Knowunity, que não só facilita o upload do meu próprio conteúdo, mas também oferece ótimos resumos que tornam o meu trabalho mais rápido e eficiente.
Tomás R
utilizador iOS
Sempre foi um desafio encontrar todas as informações importantes para os meus trabalhos – desde que comecei a usar a Knowunity, posso simplesmente fazer upload do meu conteúdo e aproveitar os resumos dos outros, o que me ajuda muito com a organização.
Luísa M
utilizadora Android
Eu frequentemente sentia que não tinha uma visão geral suficiente ao estudar, mas desde que comecei a usar o Knowunity, isso não acontece mais – faço upload do meu conteúdo e encontro sempre resumos úteis na plataforma, o que torna meu aprendizado muito mais fácil.
David F
utilizador iOS
O app é simplesmente incrível! Só preciso digitar o tema na barra de pesquisa e recebo a resposta super rápido. Não preciso assistir 10 vídeos no YouTube para entender algo, então economizo meu tempo. Super recomendo!
Marco O
utilizador Android
Na escola eu era péssimo em matemática, mas graças ao app, estou me saindo melhor agora. Sou muito grato por vocês terem criado o app.
André B
utilizador Android
Costumava ser muito difícil reunir todas as informações para minhas apresentações. Mas desde que comecei a usar o Knowunity, só preciso de carregar os meus apontamentos e encontrar resumos incríveis de outros - isso torna meu estudo muito mais eficiente!
Júlia S
utilizadora Android
Estava constantemente stressado com todo o material de estudo, mas desde que comecei a usar a Knowunity, carrego as minhas coisas e vejo os resumos dos outros - isto ajuda-me a gerir tudo melhor e é muito menos stressante.
Marco B
utilizador iOS
Foi sempre complicado encontrar os materiais certos para os meus trabalhos. Agora faço upload das minhas anotações na Knowunity e vejo os melhores resumos dos outros - isto realmente ajudou-me a entender tudo mais rápido e melhora as minhas notas.
Sarah L
utilizadora Android
Eu costumava passar horas no Google à procura de materiais escolares, mas agora só carrego as minhas coisas na Knowunity e vejo os resumos dos outros - sinto-me muito mais confiante quando me preparo para testes.
Paulo T
utilizador iOS
A App é muito fácil de usar e está nem organizada. Encontrei tudo o que estava à procura até agora e consegui aprender muito com as apresentações! Vou usar a app para um trabalho escolar! E claro que também me ajuda muito como inspiração.
João S
utilizador iOS
Esta app é realmente incrível. Há tantas anotações de estudo e ajuda [...]. A minha disciplina problemática é Francês, por exemplo, e a app tem muitas opções de ajuda. Graças a esta app, melhorei o meu Francês. Eu recomendo a qualquer pessoa.
Sara C.
utilizadora Android
Uau, estou realmente impressionado. Acabei de experimentar o app porque o vi anunciado muitas vezes e fiquei absolutamente surpreso. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece tantas coisas, como exercícios e folhas de fatos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.
Ana
utilizadora iOS
Eu costumava ter dificuldade para completar os meus trabalhos a tempo até descobrir a Knowunity, que não só facilita o upload do meu próprio conteúdo, mas também oferece ótimos resumos que tornam o meu trabalho mais rápido e eficiente.
Tomás R
utilizador iOS
Sempre foi um desafio encontrar todas as informações importantes para os meus trabalhos – desde que comecei a usar a Knowunity, posso simplesmente fazer upload do meu conteúdo e aproveitar os resumos dos outros, o que me ajuda muito com a organização.
Luísa M
utilizadora Android
Eu frequentemente sentia que não tinha uma visão geral suficiente ao estudar, mas desde que comecei a usar o Knowunity, isso não acontece mais – faço upload do meu conteúdo e encontro sempre resumos úteis na plataforma, o que torna meu aprendizado muito mais fácil.
David F
utilizador iOS
O app é simplesmente incrível! Só preciso digitar o tema na barra de pesquisa e recebo a resposta super rápido. Não preciso assistir 10 vídeos no YouTube para entender algo, então economizo meu tempo. Super recomendo!
Marco O
utilizador Android
Na escola eu era péssimo em matemática, mas graças ao app, estou me saindo melhor agora. Sou muito grato por vocês terem criado o app.
André B
utilizador Android
Costumava ser muito difícil reunir todas as informações para minhas apresentações. Mas desde que comecei a usar o Knowunity, só preciso de carregar os meus apontamentos e encontrar resumos incríveis de outros - isso torna meu estudo muito mais eficiente!
Júlia S
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Estava constantemente stressado com todo o material de estudo, mas desde que comecei a usar a Knowunity, carrego as minhas coisas e vejo os resumos dos outros - isto ajuda-me a gerir tudo melhor e é muito menos stressante.
Marco B
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Foi sempre complicado encontrar os materiais certos para os meus trabalhos. Agora faço upload das minhas anotações na Knowunity e vejo os melhores resumos dos outros - isto realmente ajudou-me a entender tudo mais rápido e melhora as minhas notas.
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Paulo T
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O conjunto dos números reais é fundamental na matemática, agrupando diferentes tipos de números que usamos diariamente. Este resumo explica como classificar, representar e trabalhar com esses números, incluindo suas propriedades e operações básicas.
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Os números reais (IR) englobam todos os valores numéricos e são divididos em dois grandes grupos: racionais e irracionais.
Os números racionais (Q) incluem os naturais (ℕ), inteiros (ℤ) e frações, podendo ser expressos como dízimas finitas (0,5) ou infinitas periódicas (1,(3)). Já os números irracionais são representados por dízimas infinitas não periódicas, como π ou √2.
Para indicar relações entre números e conjuntos, usamos símbolos específicos: ∈ (pertence), ∉ (não pertence), ⊂ (contido) e ⊃ (contém).
💡 Lembre-se que todo número racional pode ser escrito como fração, enquanto os irracionais nunca podem ser expressos desta forma!
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A reta real é uma linha onde cada ponto corresponde a um número real. Os números positivos ficam à direita do zero, e os negativos à esquerda.
Para localizar pontos específicos na reta, usamos suas abcissas (coordenadas). Alguns valores podem ser determinados usando o teorema de Pitágoras , especialmente quando precisamos representar raízes quadradas.
A relação de ordem em IR tem propriedades importantes como a transitividade: se a > b e b > c, então a > c. Por exemplo, se 7 > 5 e 5 > 3, então 7 > 3.
💡 A reta real é infinita em ambas as direções, permitindo representar qualquer número real, por maior ou menor que seja!
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A monotonia da adição estabelece que se a > b, então a + c > b + c para qualquer valor c. Quando adicionamos membros de desigualdades (a < b e c < d), obtemos a + c < b + d.
Na multiplicação, temos que se a < b e c > 0, então a × c < b × c. Porém, se c < 0, a desigualdade inverte: a × c > b × c.
Ao trabalhar com expressões com radicais, agrupamos termos semelhantes: 2√3 + 5√3 = 7√3, semelhante a 2x + 5x = 7x. Já para valores aproximados como π = 3,14159..., podemos usar aproximações por defeito ou excesso com erro controlado.
💡 Quando multiplicamos por um número negativo, a desigualdade muda de sentido! Este é um erro comum em exercícios.
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Os intervalos são conjuntos de números reais que podem ser representados de diferentes formas:
Em compreensão, descrevemos o intervalo através de uma condição. Por exemplo, A = {x ∈ ℤ: -2 < x < 4} representa os inteiros entre -2 e 4 .
Em extensão, listamos todos os elementos: A = {-1, 0, 1, 2, 3}. Já na representação gráfica, usamos a reta numérica com parênteses para intervalos abertos e colchetes para fechados.
Os intervalos podem ser limitados como ou ilimitados como (-∞, 5]. As bolas abertas ( ) indicam que o número não está incluído, enquanto bolas fechadas mostram que está.
💡 Intervalos com infinitos elementos não podem ser representados em extensão! Use sempre a notação de intervalos com parênteses ou colchetes.
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Os intervalos ilimitados estendem-se infinitamente em uma ou ambas as direções e são fundamentais para descrever conjuntos sem limites.
Para representar números menores que um valor, usamos ]-∞, a-∞, a]. Por exemplo, A = {x ∈ ℝ: x < 2/3} é escrito como ]-∞, 2/3[.
Para números maiores que um valor, usamos ]a, +∞[ ou [a, +∞-4π, +∞[.
O conjunto de todos os números reais é representado por ℝ = ]-∞, +∞[. Já os reais positivos são ℝ+ = ]0, +∞[.
💡 Importante! Ao lado de um símbolo de infinito (∞), o intervalo é sempre aberto, pois ∞ não é um número real e não pode ser incluído no conjunto.
O nosso companheiro de aprendizagem com IA foi especificamente criado para as necessidades dos estudantes. Com base nos milhões de conteúdos que temos na plataforma, podemos fornecer respostas verdadeiramente significativas e relevantes para os estudantes. Mas não se trata apenas de respostas, o companheiro foca-se mais em guiar os estudantes através dos seus desafios diários de aprendizagem, com planos de estudo personalizados, quizzes ou conteúdos no chat e 100% de personalização baseada nas habilidades e desenvolvimentos do estudante.
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João S
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Uau, estou realmente impressionado. Acabei de experimentar o app porque o vi anunciado muitas vezes e fiquei absolutamente surpreso. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece tantas coisas, como exercícios e folhas de fatos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.
Ana
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Eu costumava ter dificuldade para completar os meus trabalhos a tempo até descobrir a Knowunity, que não só facilita o upload do meu próprio conteúdo, mas também oferece ótimos resumos que tornam o meu trabalho mais rápido e eficiente.
Tomás R
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Sempre foi um desafio encontrar todas as informações importantes para os meus trabalhos – desde que comecei a usar a Knowunity, posso simplesmente fazer upload do meu conteúdo e aproveitar os resumos dos outros, o que me ajuda muito com a organização.
Luísa M
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Eu frequentemente sentia que não tinha uma visão geral suficiente ao estudar, mas desde que comecei a usar o Knowunity, isso não acontece mais – faço upload do meu conteúdo e encontro sempre resumos úteis na plataforma, o que torna meu aprendizado muito mais fácil.
David F
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O app é simplesmente incrível! Só preciso digitar o tema na barra de pesquisa e recebo a resposta super rápido. Não preciso assistir 10 vídeos no YouTube para entender algo, então economizo meu tempo. Super recomendo!
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Na escola eu era péssimo em matemática, mas graças ao app, estou me saindo melhor agora. Sou muito grato por vocês terem criado o app.
André B
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Costumava ser muito difícil reunir todas as informações para minhas apresentações. Mas desde que comecei a usar o Knowunity, só preciso de carregar os meus apontamentos e encontrar resumos incríveis de outros - isso torna meu estudo muito mais eficiente!
Júlia S
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Estava constantemente stressado com todo o material de estudo, mas desde que comecei a usar a Knowunity, carrego as minhas coisas e vejo os resumos dos outros - isto ajuda-me a gerir tudo melhor e é muito menos stressante.
Marco B
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Foi sempre complicado encontrar os materiais certos para os meus trabalhos. Agora faço upload das minhas anotações na Knowunity e vejo os melhores resumos dos outros - isto realmente ajudou-me a entender tudo mais rápido e melhora as minhas notas.
Sarah L
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Eu costumava passar horas no Google à procura de materiais escolares, mas agora só carrego as minhas coisas na Knowunity e vejo os resumos dos outros - sinto-me muito mais confiante quando me preparo para testes.
Paulo T
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A App é muito fácil de usar e está nem organizada. Encontrei tudo o que estava à procura até agora e consegui aprender muito com as apresentações! Vou usar a app para um trabalho escolar! E claro que também me ajuda muito como inspiração.
João S
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Esta app é realmente incrível. Há tantas anotações de estudo e ajuda [...]. A minha disciplina problemática é Francês, por exemplo, e a app tem muitas opções de ajuda. Graças a esta app, melhorei o meu Francês. Eu recomendo a qualquer pessoa.
Sara C.
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Uau, estou realmente impressionado. Acabei de experimentar o app porque o vi anunciado muitas vezes e fiquei absolutamente surpreso. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece tantas coisas, como exercícios e folhas de fatos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.
Ana
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Eu costumava ter dificuldade para completar os meus trabalhos a tempo até descobrir a Knowunity, que não só facilita o upload do meu próprio conteúdo, mas também oferece ótimos resumos que tornam o meu trabalho mais rápido e eficiente.
Tomás R
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Sempre foi um desafio encontrar todas as informações importantes para os meus trabalhos – desde que comecei a usar a Knowunity, posso simplesmente fazer upload do meu conteúdo e aproveitar os resumos dos outros, o que me ajuda muito com a organização.
Luísa M
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Eu frequentemente sentia que não tinha uma visão geral suficiente ao estudar, mas desde que comecei a usar o Knowunity, isso não acontece mais – faço upload do meu conteúdo e encontro sempre resumos úteis na plataforma, o que torna meu aprendizado muito mais fácil.
David F
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O app é simplesmente incrível! Só preciso digitar o tema na barra de pesquisa e recebo a resposta super rápido. Não preciso assistir 10 vídeos no YouTube para entender algo, então economizo meu tempo. Super recomendo!
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Na escola eu era péssimo em matemática, mas graças ao app, estou me saindo melhor agora. Sou muito grato por vocês terem criado o app.
André B
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Costumava ser muito difícil reunir todas as informações para minhas apresentações. Mas desde que comecei a usar o Knowunity, só preciso de carregar os meus apontamentos e encontrar resumos incríveis de outros - isso torna meu estudo muito mais eficiente!
Júlia S
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Estava constantemente stressado com todo o material de estudo, mas desde que comecei a usar a Knowunity, carrego as minhas coisas e vejo os resumos dos outros - isto ajuda-me a gerir tudo melhor e é muito menos stressante.
Marco B
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Foi sempre complicado encontrar os materiais certos para os meus trabalhos. Agora faço upload das minhas anotações na Knowunity e vejo os melhores resumos dos outros - isto realmente ajudou-me a entender tudo mais rápido e melhora as minhas notas.
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