Conjunto dos Números Reais

Os números reais (IR) englobam todos os valores numéricos e são divididos em dois grandes grupos: racionais e irracionais.

Os números racionais (Q) incluem os naturais (ℕ), inteiros (ℤ) e frações, podendo ser expressos como dízimas finitas (0,5) ou infinitas periódicas (1,(3)). Já os números irracionais são representados por dízimas infinitas não periódicas, como π ou √2.

Para indicar relações entre números e conjuntos, usamos símbolos específicos: ∈ (pertence), ∉ (não pertence), ⊂ (contido) e ⊃ (contém).

💡 Lembre-se que todo número racional pode ser escrito como fração, enquanto os irracionais nunca podem ser expressos desta forma!

Representação na Reta Real

A reta real é uma linha onde cada ponto corresponde a um número real. Os números positivos ficam à direita do zero, e os negativos à esquerda.

Para localizar pontos específicos na reta, usamos suas abcissas (coordenadas). Alguns valores podem ser determinados usando o teorema de Pitágoras $h² = a² + b²$, especialmente quando precisamos representar raízes quadradas.

A relação de ordem em IR tem propriedades importantes como a transitividade: se a > b e b > c, então a > c. Por exemplo, se 7 > 5 e 5 > 3, então 7 > 3.

💡 A reta real é infinita em ambas as direções, permitindo representar qualquer número real, por maior ou menor que seja!

Propriedades e Operações

A monotonia da adição estabelece que se a > b, então a + c > b + c para qualquer valor c. Quando adicionamos membros de desigualdades (a < b e c < d), obtemos a + c < b + d.

Na multiplicação, temos que se a < b e c > 0, então a × c < b × c. Porém, se c < 0, a desigualdade inverte: a × c > b × c.

Ao trabalhar com expressões com radicais, agrupamos termos semelhantes: 2√3 + 5√3 = 7√3, semelhante a 2x + 5x = 7x. Já para valores aproximados como π = 3,14159..., podemos usar aproximações por defeito ou excesso com erro controlado.

💡 Quando multiplicamos por um número negativo, a desigualdade muda de sentido! Este é um erro comum em exercícios.

Intervalos de Números Reais

Os intervalos são conjuntos de números reais que podem ser representados de diferentes formas:

Em compreensão, descrevemos o intervalo através de uma condição. Por exemplo, A = {x ∈ ℤ: -2 < x < 4} representa os inteiros entre -2 e 4 (não incluindo -2 e 4).

Em extensão, listamos todos os elementos: A = {-1, 0, 1, 2, 3}. Já na representação gráfica, usamos a reta numérica com parênteses para intervalos abertos e colchetes para fechados.

Os intervalos podem ser limitados como $-2, 4$ ou ilimitados como (-∞, 5]. As bolas abertas ( ) indicam que o número não está incluído, enquanto bolas fechadas [ ] mostram que está.

💡 Intervalos com infinitos elementos não podem ser representados em extensão! Use sempre a notação de intervalos com parênteses ou colchetes.

Intervalos Ilimitados

Os intervalos ilimitados estendem-se infinitamente em uma ou ambas as direções e são fundamentais para descrever conjuntos sem limites.

Para representar números menores que um valor, usamos ]-∞, a[ ou ]-∞, a]. Por exemplo, A = {x ∈ ℝ: x < 2/3} é escrito como ]-∞, 2/3[.

Para números maiores que um valor, usamos ]a, +∞[ ou [a, +∞[. Como em B = {x ∈ ℝ: x > -4π}, escrito como ]-4π, +∞[.

O conjunto de todos os números reais é representado por ℝ = ]-∞, +∞[. Já os reais positivos são ℝ+ = ]0, +∞[.

💡 Importante! Ao lado de um símbolo de infinito (∞), o intervalo é sempre aberto, pois ∞ não é um número real e não pode ser incluído no conjunto.