Geometria no Plano e no Espaço

No mundo da geometria, existe uma relação clara entre as fórmulas do plano (R²) e do espaço (R³). Vamos ver as principais:

A distância entre dois pontos no plano é calculada por d = √$x₂-x₁$² + $y₂-y₁$², enquanto no espaço adiciona-se a componente z: d = √$x₂-x₁$² + $y₂-y₁$² + $z₂-z₁$².

Uma circunferência é representada por $x-a$² + $y-b$² = r², e sua equivalente no espaço, a superfície esférica, por $x-a$² + $y-b$² + $z-c$² = r².

O ponto médio de um segmento também segue padrão semelhante: M$x₁+x₂/2, y₁+y₂/2$ no plano e M$x₁+x₂/2, y₁+y₂/2, z₁+z₂/2$ no espaço.

💡 Lembra-te: A maioria das fórmulas do espaço são simplesmente extensões das fórmulas do plano com uma dimensão adicional!

A mediatriz e o plano mediador são lugares geométricos dos pontos equidistantes das extremidades de um segmento, no plano e no espaço, respetivamente.

Vetores e Produto Escalar

Os vetores são elementos fundamentais da geometria. Um vetor entre dois pontos é definido como: $\overrightarrow{AB} = B - A = (x_B - x_A, y_B - y_A)$

O produto escalar é uma operação entre dois vetores que resulta num número real: $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}|| \times \cos(\overrightarrow{u}^\wedge\overrightarrow{v})$

Esta operação tem propriedades importantes:

• Se o resultado for 0, os vetores são perpendiculares
• Se for positivo, os vetores formam um ângulo agudo
• Se for negativo, formam um ângulo obtuso
• Quando dois vetores são paralelos, o produto escalar iguala o produto das suas normas (com sinal positivo se têm o mesmo sentido, e negativo se têm sentidos opostos)

Em coordenadas, o produto escalar calcula-se:

• No plano: $(a, b) \cdot (c, d) = ac + bd$
• No espaço: $(a, b, c) \cdot (d, e, f) = ad + be + cf$

💡 O produto escalar é uma ferramenta poderosa para verificar perpendicularidade e calcular ângulos entre vetores!

Lugares Geométricos

Os lugares geométricos são conjuntos de pontos que satisfazem determinadas condições. O produto escalar é essencial para os definir algebricamente.

A mediatriz de um segmento $AB$ no plano (ou o plano mediador no espaço) é o conjunto de pontos P tais que $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MP} = 0$, onde M é o ponto médio de $AB$.

A circunferência de diâmetro $AB$ no plano (ou a superfície esférica no espaço) pode ser definida como o conjunto de pontos P tais que $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0$. Esta condição é equivalente a dizer que o triângulo APB tem um ângulo reto em P.

A reta tangente a uma circunferência no ponto T (ou o plano tangente a uma superfície esférica) é caracterizada pela condição $\overrightarrow{CT} \cdot \overrightarrow{TP} = 0$, onde C é o centro da circunferência/esfera.

💡 Estes lugares geométricos aparecem frequentemente em problemas de exame! Memoriza as condições que os definem.

Retas e Planos

As retas e planos são elementos fundamentais da geometria analítica. Eis como os podemos representar:

O ângulo entre duas retas é dado por $\cos(r^s) = |cos(\hat{u}\hat{v})| = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$, onde $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são vetores diretores das retas.

A inclinação de uma reta no plano relaciona-se com o seu declive: $m = \tan\alpha$, onde $\alpha$ é o ângulo com o eixo das abcissas. Se $\alpha = 0°$, a reta é horizontal $m = 0$; se $\alpha = 90°$, a reta é vertical (m não definido).

Entre duas retas com declives m e m':

• São paralelas se $m = m'$
• São perpendiculares se $m' = -\frac{1}{m}$

A equação cartesiana de uma reta no espaço é dada por $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$, representando a reta que passa por $(x_1, y_1, z_1)$ com direção $(a, b, c)$.

O plano pode ser definido pela equação $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ ou $ax + by + cz + d = 0$, sendo perpendicular ao vetor $(a, b, c)$.

💡 Para determinar se uma reta é paralela a um plano coordenado, verifica se uma das coordenadas do vetor diretor é nula!

Definição de Planos

Um plano pode ser definido de várias formas, dependendo da informação disponível:

Plano definido por 3 pontos não colineares: Determina-se um vetor normal $\vec{n}$ que seja perpendicular a dois vetores formados pelos pontos: $\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{AB} = 0 \ \vec{n} \cdot \vec{AC} = 0 \end{cases}$

Plano definido por 2 retas concorrentes: O vetor normal $\vec{n}$ deve ser perpendicular aos vetores diretores de ambas as retas: $\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{r} = 0 \ \vec{n} \cdot \vec{s} = 0 \end{cases}$

Plano definido por 2 retas paralelas: O vetor normal $\vec{n}$ deve ser perpendicular ao vetor diretor comum às retas e a um vetor que una pontos de ambas: $\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{r} = 0 \ \vec{n} \cdot \vec{AB} = 0 \end{cases}$

Plano definido por uma reta e um ponto exterior: O vetor normal $\vec{n}$ deve ser perpendicular ao vetor diretor da reta e ao vetor que une um ponto da reta ao ponto exterior: $\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{AB} = 0 \ \vec{n} \cdot \vec{r} = 0 \end{cases}$

💡 A chave para definir um plano é encontrar um vetor normal que seja perpendicular a vetores que "vivem" no plano!

Posição Relativa entre Planos

Dois planos no espaço podem estar em diferentes posições relativas:

Planos paralelos: Os vetores normais aos planos são paralelos (ou colineares). Isto significa que existe um escalar λ tal que $\vec{n}_1 = λ\vec{n}_2$. As equações têm a forma $ax + by + cz + d_1 = 0$ e $ax + by + cz + d_2 = 0$, onde apenas o termo independente difere.

Planos concorrentes: Intersectam-se numa reta. Os vetores normais não são paralelos, e a reta de interseção pode ser encontrada resolvendo o sistema formado pelas equações dos dois planos.

Planos coincidentes: São o mesmo plano. As equações são proporcionais entre si: existe λ tal que $ax + by + cz + d_1 = λ(ax + by + cz + d_2)$.

Para determinar a posição relativa entre planos, compara-se os vetores normais e os termos independentes das equações.

💡 Se os vetores normais são paralelos, os planos também são paralelos ou coincidentes. A diferença está nos termos independentes!

Interseção entre Reta e Plano

Para determinar a interseção entre uma reta e um plano, segue-se este método:

1. Escrever a equação da reta na forma vetorial: $(x,y,z) = (x_1,y_1,z_1) + k(a,b,c)$

2. Extrair as equações paramétricas da reta: $x = x_1 + ka$ $y = y_1 + kb$ $z = z_1 + kc$

3. Substituir estas expressões na equação do plano $Ax + By + Cz + D = 0$

4. Resolver a equação em ordem a $k$ e substituir na equação da reta para obter o ponto de interseção

Existem três possibilidades:

• Se $k \in \mathbb{R}$, a reta interseta o plano num único ponto
• Se $0k = 0$ (equação de identidade), a reta está contida no plano
• Se $0k = n$ com $n \neq 0$, a reta é estritamente paralela ao plano

💡 Presta atenção ao valor de $k$! É ele que te dirá qual a posição relativa entre a reta e o plano.

Sucessões

Uma sucessão é uma função de domínio ℕ. Para analisar o seu comportamento, precisamos estudar sua monotonia e limitações.

Monotonia de uma sucessão:

• Se $u_{n+1} - u_n > 0$, a sucessão é crescente
• Se $u_{n+1} - u_n < 0$, a sucessão é decrescente
• Se $u_{n+1} - u_n = 0$, a sucessão é constante
• Se $u_{n+1} - u_n$ não tem sempre o mesmo sinal, a sucessão é não monótona

Sucessões limitadas: Uma sucessão é limitada se existem números reais m e M tais que $m ≤ u_n ≤ M$ para todo n ∈ ℕ.

Para provar que uma sucessão é limitada, podemos usar enquadramentos como:

• $0 < \frac{1}{n} \leq 1$ para $n \geq 1$
• $n \geq 1$ para todo $n \in \mathbb{N}$

💡 Para verificar a monotonia, compara sempre termos consecutivos. Se a diferença mantém o mesmo sinal, a sucessão é monótona!

Progressões Aritméticas e Geométricas

As progressões são sucessões com padrões específicos que facilitam o cálculo de termos e somas.

Progressão Aritmética (PA): Cada termo difere do anterior por um valor constante (razão r).

• Termo geral: $u_n = u_1 + (n-1) \times r$ ou $u_n = u_k + (n-k) \times r$
• Soma dos n primeiros termos: $S_n = \frac{u_1 + u_n}{2} \times n$
• Monotonia: crescente se $r > 0$, decrescente se $r < 0$, constante se $r = 0$

Progressão Geométrica (PG): Cada termo é obtido multiplicando o anterior por um valor constante (razão r).

• Termo geral: $u_n = u_1 \times r^{n-1}$ ou $u_n = u_k \times r^{n-k}$
• Soma dos n primeiros termos: $S_n = u_1 \times \frac{1-r^n}{1-r}$ para $r \neq 1$
• Monotonia: depende do valor de r e do sinal de $u_1$

💡 Numa PA, as diferenças são constantes. Numa PG, os quocientes são constantes. Esta distinção é fundamental!

As PGs com $|r| < 1$ têm comportamento importante no estudo de limites, pois a soma dos seus termos tende para um valor finito.

Probabilidades e Cálculo Combinatório

O cálculo combinatório é essencial para resolver problemas de contagem e probabilidades.

Operações fundamentais:

• Fatorial: $n! = n \times (n-1) \times ... \times 2 \times 1$ com $0! = 1$ e $1! = 1$
• Permutações: $P_n = n!$ (número de formas de ordenar n elementos distintos)
• Arranjos sem repetição: $A^n_p = \frac{n!}{(n-p)!}$ (seleções ordenadas de p elementos entre n)
• Arranjos com repetição: $A'^n_p = n^p$ (seleções ordenadas de p elementos entre n, com repetição)
• Combinações: $C^n_p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ (seleções não ordenadas de p elementos entre n)

Para escolher a operação correta, pergunta-te:

1. Importa a ordem? Se sim, usamos arranjos ou permutações. Se não, usamos combinações.
2. Os elementos podem repetir-se? Se sim, usamos arranjos com repetição.
3. Estamos a usar todos os elementos? Se sim, usamos permutações.

💡 Nos problemas de probabilidade, identificar corretamente os casos favoráveis e casos possíveis é meio caminho andado para a solução!