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Raquel Francisco
30/11/2025
Matemática
Modelos de grafos !
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30 de nov. de 2025
•
Raquel Francisco
@raquelfran_vwoly
Grafos são estruturas matemáticas poderosas que nos ajudam a representar... Mostrar mais
Um grafo é simplesmente um par (V, A), onde V representa o conjunto de vértices e A o conjunto de arestas que conectam esses vértices. A ordem de um grafo é o número total de vértices que ele possui.
Quando podemos ir de qualquer vértice a qualquer outro seguindo arestas, dizemos que o grafo é conexo. Já um grafo completo é aquele onde todos os vértices estão conectados diretamente entre si. O grau de um vértice indica quantas arestas estão ligadas a ele.
Os grafos eulerianos são especiais pois permitem percorrer todas as arestas exatamente uma vez, voltando ao ponto inicial. Um circuito de Euler é esse caminho fechado que passa por todas as arestas sem repetições.
💡 Dica prática: Para verificar se um grafo é euleriano, basta conferir se ele é conexo e se todos os seus vértices têm grau par. Esta é a condição do Teorema de Euler!
Para um grafo admitir um caminho de Euler (diferente de circuito), ele precisa ser conexo e ter exatamente dois vértices de grau ímpar - o início e o fim do caminho. Quando um grafo não é euleriano, podemos realizar a eulerização, adicionando arestas duplicadas para tornar todos os vértices de grau par.
Os circuitos de Hamilton são diferentes: passam por todos os vértices do grafo exatamente uma vez, retornando ao vértice inicial. Este conceito é a base do famoso problema do caixeiro-viajante, que busca encontrar o percurso mais curto que visite todas as cidades uma única vez, retornando ao ponto de partida.
Uma maneira de resolver o problema do caixeiro-viajante é usando o método das árvores, onde listamos todos os possíveis circuitos, calculamos a distância total de cada um e escolhemos o menor. Embora precise, este método torna-se impraticável para grafos com muitos vértices.
🔍 Importante: O problema do caixeiro-viajante é extremamente relevante na logística e transporte, mas encontrar a solução ótima em grafos grandes é computacionalmente muito difícil!
O algoritmo dos mínimos sucessivos (ou da cidade mais próxima) oferece uma abordagem prática: partimos de uma cidade e sempre escolhemos a próxima mais próxima que ainda não visitamos, até retornar à origem depois de visitar todas.
Já o algoritmo da ordenação do peso das arestas funciona diferente: ordenamos todas as arestas pelo peso e vamos selecionando as mais leves, desde que não formem circuitos prematuros e nenhum vértice apareça mais de duas vezes (exceto o final).
Estes dois algoritmos são rápidos e práticos, mas não garantem encontrar o circuito ótimo - apenas uma boa aproximação. Por outro lado, o algoritmo das árvores testa todas as possibilidades e encontra a solução ótima, mas é extremamente lento para grafos grandes.
⚠️ Atenção: Na prática, para problemas reais com muitas cidades, os algoritmos aproximados (mínimos sucessivos ou ordenação de pesos) são preferidos por serem computacionalmente viáveis!
As árvores são grafos conexos sem circuitos - uma estrutura mais simples que um grafo completo. Uma árvore abrangente (ou geradora) contém todos os vértices do grafo original, mas apenas o mínimo de arestas necessárias para manter a conexão.
Em grafos com pesos nas arestas, encontrar uma árvore abrangente mínima significa selecionar arestas que conectam todos os vértices com o menor custo total possível. Este é um problema comum em projetos de redes, como cabos de eletricidade ou internet.
O algoritmo de Kruskal resolve este problema de forma elegante: ordenamos as arestas por peso crescente e vamos adicionando-as à solução desde que não formem circuitos. Este método garante encontrar a árvore abrangente de custo mínimo.
🌟 Aplicação prática: As árvores abrangentes mínimas são usadas para projetar redes eficientes de distribuição, como redes elétricas ou de telecomunicações, minimizando o custo total!
O nosso companheiro de aprendizagem com IA foi especificamente criado para as necessidades dos estudantes. Com base nos milhões de conteúdos que temos na plataforma, podemos fornecer respostas verdadeiramente significativas e relevantes para os estudantes. Mas não se trata apenas de respostas, o companheiro foca-se mais em guiar os estudantes através dos seus desafios diários de aprendizagem, com planos de estudo personalizados, quizzes ou conteúdos no chat e 100% de personalização baseada nas habilidades e desenvolvimentos do estudante.
Pode descarregar a aplicação na Google Play Store e na Apple App Store.
Sim, tem acesso gratuito ao conteúdo da aplicação e ao nosso companheiro de IA. Para desbloquear determinadas funcionalidades da aplicação, pode adquirir o Knowunity Pro.
App Store
Google Play
A App é muito fácil de usar e está nem organizada. Encontrei tudo o que estava à procura até agora e consegui aprender muito com as apresentações! Vou usar a app para um trabalho escolar! E claro que também me ajuda muito como inspiração.
João S
utilizador iOS
Esta app é realmente incrível. Há tantas anotações de estudo e ajuda [...]. A minha disciplina problemática é Francês, por exemplo, e a app tem muitas opções de ajuda. Graças a esta app, melhorei o meu Francês. Eu recomendo a qualquer pessoa.
Sara C.
utilizadora Android
Uau, estou realmente impressionado. Acabei de experimentar o app porque o vi anunciado muitas vezes e fiquei absolutamente surpreso. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece tantas coisas, como exercícios e folhas de fatos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.
Ana
utilizadora iOS
Eu costumava ter dificuldade para completar os meus trabalhos a tempo até descobrir a Knowunity, que não só facilita o upload do meu próprio conteúdo, mas também oferece ótimos resumos que tornam o meu trabalho mais rápido e eficiente.
Tomás R
utilizador iOS
Sempre foi um desafio encontrar todas as informações importantes para os meus trabalhos – desde que comecei a usar a Knowunity, posso simplesmente fazer upload do meu conteúdo e aproveitar os resumos dos outros, o que me ajuda muito com a organização.
Luísa M
utilizadora Android
Eu frequentemente sentia que não tinha uma visão geral suficiente ao estudar, mas desde que comecei a usar o Knowunity, isso não acontece mais – faço upload do meu conteúdo e encontro sempre resumos úteis na plataforma, o que torna meu aprendizado muito mais fácil.
David F
utilizador iOS
O app é simplesmente incrível! Só preciso digitar o tema na barra de pesquisa e recebo a resposta super rápido. Não preciso assistir 10 vídeos no YouTube para entender algo, então economizo meu tempo. Super recomendo!
Marco O
utilizador Android
Na escola eu era péssimo em matemática, mas graças ao app, estou me saindo melhor agora. Sou muito grato por vocês terem criado o app.
André B
utilizador Android
Costumava ser muito difícil reunir todas as informações para minhas apresentações. Mas desde que comecei a usar o Knowunity, só preciso de carregar os meus apontamentos e encontrar resumos incríveis de outros - isso torna meu estudo muito mais eficiente!
Júlia S
utilizadora Android
Estava constantemente stressado com todo o material de estudo, mas desde que comecei a usar a Knowunity, carrego as minhas coisas e vejo os resumos dos outros - isto ajuda-me a gerir tudo melhor e é muito menos stressante.
Marco B
utilizador iOS
Foi sempre complicado encontrar os materiais certos para os meus trabalhos. Agora faço upload das minhas anotações na Knowunity e vejo os melhores resumos dos outros - isto realmente ajudou-me a entender tudo mais rápido e melhora as minhas notas.
Sarah L
utilizadora Android
Eu costumava passar horas no Google à procura de materiais escolares, mas agora só carrego as minhas coisas na Knowunity e vejo os resumos dos outros - sinto-me muito mais confiante quando me preparo para testes.
Paulo T
utilizador iOS
A App é muito fácil de usar e está nem organizada. Encontrei tudo o que estava à procura até agora e consegui aprender muito com as apresentações! Vou usar a app para um trabalho escolar! E claro que também me ajuda muito como inspiração.
João S
utilizador iOS
Esta app é realmente incrível. Há tantas anotações de estudo e ajuda [...]. A minha disciplina problemática é Francês, por exemplo, e a app tem muitas opções de ajuda. Graças a esta app, melhorei o meu Francês. Eu recomendo a qualquer pessoa.
Sara C.
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Uau, estou realmente impressionado. Acabei de experimentar o app porque o vi anunciado muitas vezes e fiquei absolutamente surpreso. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece tantas coisas, como exercícios e folhas de fatos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.
Ana
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Eu costumava ter dificuldade para completar os meus trabalhos a tempo até descobrir a Knowunity, que não só facilita o upload do meu próprio conteúdo, mas também oferece ótimos resumos que tornam o meu trabalho mais rápido e eficiente.
Tomás R
utilizador iOS
Sempre foi um desafio encontrar todas as informações importantes para os meus trabalhos – desde que comecei a usar a Knowunity, posso simplesmente fazer upload do meu conteúdo e aproveitar os resumos dos outros, o que me ajuda muito com a organização.
Luísa M
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Eu frequentemente sentia que não tinha uma visão geral suficiente ao estudar, mas desde que comecei a usar o Knowunity, isso não acontece mais – faço upload do meu conteúdo e encontro sempre resumos úteis na plataforma, o que torna meu aprendizado muito mais fácil.
David F
utilizador iOS
O app é simplesmente incrível! Só preciso digitar o tema na barra de pesquisa e recebo a resposta super rápido. Não preciso assistir 10 vídeos no YouTube para entender algo, então economizo meu tempo. Super recomendo!
Marco O
utilizador Android
Na escola eu era péssimo em matemática, mas graças ao app, estou me saindo melhor agora. Sou muito grato por vocês terem criado o app.
André B
utilizador Android
Costumava ser muito difícil reunir todas as informações para minhas apresentações. Mas desde que comecei a usar o Knowunity, só preciso de carregar os meus apontamentos e encontrar resumos incríveis de outros - isso torna meu estudo muito mais eficiente!
Júlia S
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Estava constantemente stressado com todo o material de estudo, mas desde que comecei a usar a Knowunity, carrego as minhas coisas e vejo os resumos dos outros - isto ajuda-me a gerir tudo melhor e é muito menos stressante.
Marco B
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Foi sempre complicado encontrar os materiais certos para os meus trabalhos. Agora faço upload das minhas anotações na Knowunity e vejo os melhores resumos dos outros - isto realmente ajudou-me a entender tudo mais rápido e melhora as minhas notas.
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Raquel Francisco
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Grafos são estruturas matemáticas poderosas que nos ajudam a representar relações entre objetos. Vamos explorar conceitos fundamentais como grafos eulerianos, hamiltonianos e algoritmos para resolver problemas práticos que aparecem em redes, transporte e otimização.
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Um grafo é simplesmente um par (V, A), onde V representa o conjunto de vértices e A o conjunto de arestas que conectam esses vértices. A ordem de um grafo é o número total de vértices que ele possui.
Quando podemos ir de qualquer vértice a qualquer outro seguindo arestas, dizemos que o grafo é conexo. Já um grafo completo é aquele onde todos os vértices estão conectados diretamente entre si. O grau de um vértice indica quantas arestas estão ligadas a ele.
Os grafos eulerianos são especiais pois permitem percorrer todas as arestas exatamente uma vez, voltando ao ponto inicial. Um circuito de Euler é esse caminho fechado que passa por todas as arestas sem repetições.
💡 Dica prática: Para verificar se um grafo é euleriano, basta conferir se ele é conexo e se todos os seus vértices têm grau par. Esta é a condição do Teorema de Euler!
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Para um grafo admitir um caminho de Euler (diferente de circuito), ele precisa ser conexo e ter exatamente dois vértices de grau ímpar - o início e o fim do caminho. Quando um grafo não é euleriano, podemos realizar a eulerização, adicionando arestas duplicadas para tornar todos os vértices de grau par.
Os circuitos de Hamilton são diferentes: passam por todos os vértices do grafo exatamente uma vez, retornando ao vértice inicial. Este conceito é a base do famoso problema do caixeiro-viajante, que busca encontrar o percurso mais curto que visite todas as cidades uma única vez, retornando ao ponto de partida.
Uma maneira de resolver o problema do caixeiro-viajante é usando o método das árvores, onde listamos todos os possíveis circuitos, calculamos a distância total de cada um e escolhemos o menor. Embora precise, este método torna-se impraticável para grafos com muitos vértices.
🔍 Importante: O problema do caixeiro-viajante é extremamente relevante na logística e transporte, mas encontrar a solução ótima em grafos grandes é computacionalmente muito difícil!
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O algoritmo dos mínimos sucessivos (ou da cidade mais próxima) oferece uma abordagem prática: partimos de uma cidade e sempre escolhemos a próxima mais próxima que ainda não visitamos, até retornar à origem depois de visitar todas.
Já o algoritmo da ordenação do peso das arestas funciona diferente: ordenamos todas as arestas pelo peso e vamos selecionando as mais leves, desde que não formem circuitos prematuros e nenhum vértice apareça mais de duas vezes (exceto o final).
Estes dois algoritmos são rápidos e práticos, mas não garantem encontrar o circuito ótimo - apenas uma boa aproximação. Por outro lado, o algoritmo das árvores testa todas as possibilidades e encontra a solução ótima, mas é extremamente lento para grafos grandes.
⚠️ Atenção: Na prática, para problemas reais com muitas cidades, os algoritmos aproximados (mínimos sucessivos ou ordenação de pesos) são preferidos por serem computacionalmente viáveis!
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As árvores são grafos conexos sem circuitos - uma estrutura mais simples que um grafo completo. Uma árvore abrangente (ou geradora) contém todos os vértices do grafo original, mas apenas o mínimo de arestas necessárias para manter a conexão.
Em grafos com pesos nas arestas, encontrar uma árvore abrangente mínima significa selecionar arestas que conectam todos os vértices com o menor custo total possível. Este é um problema comum em projetos de redes, como cabos de eletricidade ou internet.
O algoritmo de Kruskal resolve este problema de forma elegante: ordenamos as arestas por peso crescente e vamos adicionando-as à solução desde que não formem circuitos. Este método garante encontrar a árvore abrangente de custo mínimo.
🌟 Aplicação prática: As árvores abrangentes mínimas são usadas para projetar redes eficientes de distribuição, como redes elétricas ou de telecomunicações, minimizando o custo total!
O nosso companheiro de aprendizagem com IA foi especificamente criado para as necessidades dos estudantes. Com base nos milhões de conteúdos que temos na plataforma, podemos fornecer respostas verdadeiramente significativas e relevantes para os estudantes. Mas não se trata apenas de respostas, o companheiro foca-se mais em guiar os estudantes através dos seus desafios diários de aprendizagem, com planos de estudo personalizados, quizzes ou conteúdos no chat e 100% de personalização baseada nas habilidades e desenvolvimentos do estudante.
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João S
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Sempre foi um desafio encontrar todas as informações importantes para os meus trabalhos – desde que comecei a usar a Knowunity, posso simplesmente fazer upload do meu conteúdo e aproveitar os resumos dos outros, o que me ajuda muito com a organização.
Luísa M
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Eu frequentemente sentia que não tinha uma visão geral suficiente ao estudar, mas desde que comecei a usar o Knowunity, isso não acontece mais – faço upload do meu conteúdo e encontro sempre resumos úteis na plataforma, o que torna meu aprendizado muito mais fácil.
David F
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André B
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Costumava ser muito difícil reunir todas as informações para minhas apresentações. Mas desde que comecei a usar o Knowunity, só preciso de carregar os meus apontamentos e encontrar resumos incríveis de outros - isso torna meu estudo muito mais eficiente!
Júlia S
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A App é muito fácil de usar e está nem organizada. Encontrei tudo o que estava à procura até agora e consegui aprender muito com as apresentações! Vou usar a app para um trabalho escolar! E claro que também me ajuda muito como inspiração.
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Esta app é realmente incrível. Há tantas anotações de estudo e ajuda [...]. A minha disciplina problemática é Francês, por exemplo, e a app tem muitas opções de ajuda. Graças a esta app, melhorei o meu Francês. Eu recomendo a qualquer pessoa.
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Uau, estou realmente impressionado. Acabei de experimentar o app porque o vi anunciado muitas vezes e fiquei absolutamente surpreso. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece tantas coisas, como exercícios e folhas de fatos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.
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Tomás R
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Luísa M
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Eu frequentemente sentia que não tinha uma visão geral suficiente ao estudar, mas desde que comecei a usar o Knowunity, isso não acontece mais – faço upload do meu conteúdo e encontro sempre resumos úteis na plataforma, o que torna meu aprendizado muito mais fácil.
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Na escola eu era péssimo em matemática, mas graças ao app, estou me saindo melhor agora. Sou muito grato por vocês terem criado o app.
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Estava constantemente stressado com todo o material de estudo, mas desde que comecei a usar a Knowunity, carrego as minhas coisas e vejo os resumos dos outros - isto ajuda-me a gerir tudo melhor e é muito menos stressante.
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Foi sempre complicado encontrar os materiais certos para os meus trabalhos. Agora faço upload das minhas anotações na Knowunity e vejo os melhores resumos dos outros - isto realmente ajudou-me a entender tudo mais rápido e melhora as minhas notas.
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