Casos Notáveis e Fórmulas Geométricas

Os casos notáveis são expressões algébricas que aparecem frequentemente em cálculos matemáticos:

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Para cálculo de volumes de figuras tridimensionais:

• Prisma/Cilindro: $V = A_b \times h$ (área da base vezes altura)
• Pirâmide/Cone: $V = \frac{A_b \times h}{3}$ (um terço da área da base vezes altura)
• Esfera: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ (quatro terços de pi vezes raio ao cubo)

Para áreas de figuras planas:

• Paralelogramo: $A = b \times h$
• Trapézio: $A = \frac{(B+b) \times h}{2}$ (média das bases vezes altura)
• Triângulo: $A = \frac{b \times h}{2}$ (metade da base vezes altura)
• Círculo: $A = \pi r^2$

Dica importante: Memorizar estas fórmulas vai poupar-te muito tempo nos exames e ajudar-te a resolver problemas mais rapidamente!

As propriedades dos radicais são essenciais para simplificar expressões com raízes:

• $\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b}$
• $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} (b \neq 0)$
• $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$
• $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

Distâncias e Geometria Analítica

A distância entre dois pontos varia conforme a dimensão em que estamos a trabalhar:

Na reta (1D):

• Entre A$x_A$ e B$x_B$: $AB = |x_A - x_B|$

No plano (2D):

• Entre A$x_A, y_A$ e B$x_B, y_B$: $AB = \sqrt{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2}$

No espaço (3D):

• Entre A$x_A, y_A, z_A$ e B$x_B, y_B, z_B$: $AB = \sqrt{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2 + (z_A-z_B)^2}$

A mediatriz de um segmento é o lugar geométrico dos pontos equidistantes das extremidades:

• No plano: $PA = PB \Leftrightarrow (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = (x-x_A)^2 + (y-y_A)^2$
• No espaço: temos o plano mediador com equação análoga em três dimensões

O declive de uma reta com equação $y = mx + b$ é dado por:

• $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Lembra-te: O declive de uma reta é uma medida da sua inclinação - quanto maior o valor absoluto de m, mais inclinada é a reta!

O ponto médio de um segmento $AB$ é:

• $M(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$

Para a circunferência no plano:

• Equação: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, onde (a,b) é o centro e r é o raio
• Coroa circular: $r_1^2 \leq (x-a)^2 + (y-b)^2 \leq r_2^2$

Vetores - Parte 1

Os vetores são entidades matemáticas que têm direção, sentido e comprimento (ou norma).

A norma (comprimento) de um vetor $\vec{u}$ é calculada por:

• $||\vec{u}|| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$

Quando trabalhamos com dois pontos A e B, podemos definir:

• O segmento de reta $AB$
• O segmento de reta orientado $A,B$, que corresponde ao vetor $\vec{AB}$

O vetor nulo $\vec{0}$ tem comprimento zero e direção e sentido indefinidos.

Um vetor simétrico de $\vec{u}$ é o vetor $-\vec{u}$ que tem:

• Mesma direção e comprimento que $\vec{u}$
• Sentido oposto ao de $\vec{u}$

Para adicionar vetores, podemos usar:

• Regra do paralelogramo: Colocamos os vetores com a mesma origem e completamos o paralelogramo
• Regra do triângulo: Colocamos a origem do segundo vetor na extremidade do primeiro

Visualiza isto: Quando adicionamos $\vec{a} + \vec{b}$, é como se primeiro caminhássemos na direção de $\vec{a}$ e depois na direção de $\vec{b}$ - o resultado é o caminho direto!

A soma de um ponto com um vetor resulta em outro ponto:

• Se $\vec{AB} = B - A$, então $A + \vec{AB} = B$

Em notação de quadrantes e semiplanos, usamos:

• $x > a$ para semiplano direito aberto
• $x ≥ a$ para semiplano direito fechado
• $y > b$ para semiplano superior aberto
• $y < b$ para semiplano inferior aberto

Vetores - Parte 2

As propriedades da adição de vetores são:

• Comutativa: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
• Associativa: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
• Elemento neutro: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}$
• Existência de simétrico: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$

A multiplicação de um número real por um vetor tem as propriedades:

• Distributiva em relação à adição de números reais: $(a + b)\vec{v} = a\vec{v} + b\vec{v}$
• Associativa: $a(b\vec{v}) = (ab)\vec{v}$
• Distributiva em relação à adição de vetores: $a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$

No sistema de coordenadas, temos os vetores dos eixos coordenados:

• No plano: $\vec{e_1} = (1,0)$ e $\vec{e_2} = (0,1)$
• No espaço: $\vec{e_1} = (1,0,0)$, $\vec{e_2} = (0,1,0)$ e $\vec{e_3} = (0,0,1)$

Pensa nisto: Os vetores dos eixos coordenados são como os "blocos básicos" para construir qualquer outro vetor através de combinações lineares.

Vetores iguais têm as mesmas componentes:

• $\vec{u} = \vec{v}$ se e só se $u_1 = v_1$ e $u_2 = v_2$

Para calcular as coordenadas de um vetor dados dois pontos:

• $\vec{AB} = B - A = (x_B - x_A, y_B - y_A)$

As operações com coordenadas seguem regras simples:

• $\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)$
• $λ\vec{u} = (λu_1, λu_2)$
• $-\vec{u} = (-u_1, -u_2)$
• $\vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2)$

Vetores - Parte 3 e Aplicações

Para determinar a mediatriz de um segmento $AB$, usamos a equação:

• $(x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = (x-x_B)^2 + (y-y_B)^2$

Esta equação representa o conjunto de pontos que estão à mesma distância dos pontos A e B.

Vetores colineares são aqueles que têm a mesma direção ou direções opostas. Matematicamente:

• Dois vetores $\vec{u} = (u_1, u_2)$ e $\vec{v} = (v_1, v_2)$ não nulos são colineares se e só se $u_1 v_2 = u_2 v_1$
• Ou seja, existe um número real $k$ tal que $\vec{u} = k\vec{v}$

Um exemplo prático de aplicação de vetores é o seguinte teorema:

• Em um quadrilátero qualquer $ABCD$, os pontos médios M, N, P e Q dos lados formam um paralelogramo $MNPQ$

Para provar isso, mostramos que lados opostos têm vetores iguais:

1. $\vec{MQ} = \vec{NP}$
2. $\vec{MN} = \vec{QP}$

Compreende o conceito: Este teorema mostra como os vetores são ferramentas poderosas para demonstrar propriedades geométricas de forma elegante e direta.

A demonstração usa o fato que se M é o ponto médio de $AB$, então $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.

Isso significa que:

• $\vec{BD} = 2\vec{MQ}$
• $\vec{BD} = 2\vec{NP}$

Portanto, $\vec{MQ} = \vec{NP}$, o que prova que $MNPQ$ é um paralelogramo.

Geometria Analítica e Retas

Continuando a demonstração do teorema dos pontos médios:

$\vec{BD} = 2\vec{MQ} = 2\vec{NP} \Rightarrow \vec{MQ} = \vec{NP}$

De modo idêntico, provamos que $\vec{MN} = \vec{QP}$, concluindo que $MNPQ$ é um paralelogramo.

A equação da reta pode ser expressa de várias formas:

1. Equação reduzida: $y = mx + b$

   • $m$ é o declive
   • $b$ é a ordenada na origem

2. Equação vetorial: $(x,y) = (a,b) + k(v_1,v_2), k \in \mathbb{R}$

   • $(a,b)$ é um ponto da reta
   • $(v_1,v_2)$ é um vetor diretor da reta

Nota importante: Retas paralelas têm os mesmos vetores diretores (ou proporcionais). Isto é uma forma eficaz de verificar o paralelismo!

O vetor diretor de uma reta é qualquer vetor não nulo com a mesma direção da reta.

No plano, a equação de uma reta pode ser escrita como:

• $y = ax + b$ (forma explícita)
• $P = A + k\vec{v}, k \in \mathbb{R}$ (forma paramétrica)

No espaço, a equação de uma reta é:

• $P = A + k\vec{v}, k \in \mathbb{R}$ (forma paramétrica)

Três ou mais pontos são colineares se estiverem na mesma reta. Podemos verificar isso usando vetores:

• Se $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$ são colineares, então os pontos A, B e C são colineares

Lembre-se que o vetor normal a uma reta é perpendicular ao vetor diretor da reta.

Funções - Parte 1

Uma função é uma regra que transforma cada elemento de um conjunto (domínio) em um e apenas um elemento de outro conjunto (conjunto de chegada).

Os elementos principais de uma função são:

• Variável independente: percorre todo o domínio
• Função: regra de transformação
• Variável dependente: toma valores no conjunto de chegada

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B, representado por A×B, é o conjunto de todos os pares ordenados (a,b) onde a∈A e b∈B.

Por exemplo:

• Se A={1,2,3} e B={r,s}, então A×B={(1,r), (1,s), (2,r), (2,s), (3,r), (3,s)}
• Se C=ℝ e D=ℝ, o produto cartesiano C×D é ℝ², que corresponde ao plano cartesiano

Visualiza isto: O plano cartesiano é simplesmente o conjunto de todos os pares ordenados de números reais!

Duas funções são iguais se têm o mesmo domínio, o mesmo conjunto de chegada e, para cada elemento do domínio, a mesma imagem.

A restrição de uma função f a um subconjunto A do seu domínio é uma nova função com domínio A que coincide com f em A.

Uma função é injetiva (ou injetora) se objetos diferentes têm imagens diferentes:

• ∀x₁,x₂∈D_f: x₁≠x₂ ⇒ f(x₁)≠f(x₂)
• Ou equivalentemente: ∀x₁,x₂∈D_f: f(x₁)=f(x₂) ⇒ x₁=x₂

Exemplo: f(x)=2x com D_f={1,2,3} é injetiva pois f(1)=2, f(2)=4, f(3)=6 são todos diferentes.

Funções - Parte 2

Uma função é sobrejetiva (ou sobrejetora) se o contradomínio coincide com o conjunto de chegada:

• ∀y∈B, ∃x∈A: f(x)=y

Uma função é bijetiva (ou bijetora) se for simultaneamente injetiva e sobrejetiva.

A função composta de g com f, denotada por g∘f, é definida por:

• (g∘f)(x) = g(f(x))
• D_{g∘f} = {x∈D_f: f(x)∈D_g}

Pensa nisto: A composição de funções é como uma linha de montagem - o resultado da primeira função (f) torna-se a entrada para a segunda função (g).

A função identidade em um conjunto A, representada por Id_A, é definida por:

• ∀x∈A, Id_A(x) = x

Para funções reais de variável real:

• O domínio e o conjunto de chegada são conjuntos de números reais
• Os zeros da função são os valores de x∈D_f tais que f(x)=0
• Uma função é positiva em I⊆D_f se ∀x∈I, f(x)>0
• Uma função é negativa em I⊆D_f se ∀x∈I, f(x)<0

Uma função é crescente em I⊆D_f se ∀a,b∈I, a<b ⇒ f(a)<f(b). Uma função é decrescente em I⊆D_f se ∀a,b∈I, a<b ⇒ f(a)>f(b).

Uma função tem um máximo absoluto em a∈D_f se ∀x∈D_f, f(x)≤f(a). Uma função tem um mínimo absoluto em a∈D_f se ∀x∈D_f, f(x)≥f(a).

Uma função definida por ramos tem diferentes expressões para diferentes partes do seu domínio, como:

• f(x) = { -2x-1 se x≤2 { 2x-6 se x>2

Funções - Parte 3

A concavidade do gráfico de uma função refere-se à sua curvatura:

• O gráfico tem concavidade voltada para cima num intervalo I se, dados três pontos do gráfico com abcissas em I, o declive da reta entre os dois primeiros pontos é inferior ao declive da reta entre os dois últimos.
• O gráfico tem concavidade voltada para baixo num intervalo I se, nas mesmas condições, o primeiro declive é superior ao segundo.

Para funções do tipo f(x)=ax², a>0, a concavidade é voltada para cima. Se a<0, é voltada para baixo.

Uma função é contínua se o seu gráfico pode ser traçado "sem levantar o lápis, sem interrupções". Caso contrário, é descontínua.

Uma função f é par se:

• ∀x∈D_f, -x∈D_f e f$-x$=f(x)
• Graficamente, o eixo das ordenadas é um eixo de simetria do gráfico

Uma função f é ímpar se:

• ∀x∈D_f, -x∈D_f e f$-x$=-f(x)
• Graficamente, a origem do referencial é um ponto de simetria do gráfico

Dica prática: Para verificar rapidamente se uma função é par ou ímpar, substitua x por -x na expressão e veja o que acontece!

A reflexão em relação ao eixo Ox de uma função f produz a função g definida por:

• g(x) = -f(x)
• O gráfico de g é a imagem do gráfico de f pela reflexão do eixo Ox

No estudo da função quadrática f(x) = ax² + bx + c:

• Se a > 0, a concavidade é voltada para cima
• Se a < 0, a concavidade é voltada para baixo
• O vértice da parábola é o ponto mais alto (se a < 0) ou mais baixo (se a > 0)

Funções Quadráticas e Transformações

Para a função quadrática básica f(x) = ax²:

• O domínio é ℝ
• O contradomínio é $0,+∞[ se a>0, e ]-∞,0$ se a<0
• Tem um único zero: x=0
• O vértice é V(0,0)
• O eixo de simetria é a reta x=0 (eixo dos y)

A partir do gráfico da função f(x) = x², podemos obter outros gráficos por transformações:

• g(x) = 0,5x² é uma contração vertical (cada imagem é multiplicada por 0,5)
• h(x) = 2x² é uma dilatação vertical (cada imagem é multiplicada por 2)
• r(x) = -0,5x² combina uma contração vertical seguida de uma reflexão em relação ao eixo Ox

Visualiza as transformações: Pensa nas transformações como "esticar" ou "comprimir" o gráfico verticalmente, ou "virá-lo" de cabeça para baixo!

Propriedades da adição de vetores:

• Comutativa: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
• Associativa: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
• Elemento neutro: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
• Simetria: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$

Propriedades da multiplicação de um número real por um vetor:

• Distributiva em relação à adição: $a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$
• Associativa: $a(b\vec{v}) = (ab)\vec{v}$

Os vetores dos eixos coordenados formam uma base para expressar qualquer outro vetor como uma combinação linear, permitindo-nos trabalhar com coordenadas em vez de representações geométricas.