Números e Dízimas

Os números podem ser representados de diversas formas. As dízimas finitas ou infinitas periódicas representam números racionais (ℚ), enquanto as dízimas infinitas não periódicas representam números irracionais.

Para converter uma dízima infinita periódica em fração, usa-se uma técnica específica. Por exemplo, para x = 0,(2):

• Multiplica-se por 10: 10x = 2,222...
• Subtrai-se: 10x - x = 2,222... - 0,222...
• Obtém-se: 9x = 2, logo x = 2/9

Para converter uma dízima finita em fração, basta dividir pelo valor posicional da última casa decimal. Por exemplo, 0,23 = 23/100 e 1,084 = 1084/1000.

⚠️ Atenção! Nas relações entre conjuntos, o símbolo "⊂" indica "está contido" e "∈" indica "pertence". Não os confundas!

A propriedade de monotonia da adição diz-nos que se a ≤ b, então a + c ≤ b + c. Esta propriedade é fundamental para resolver inequações.

Propriedades das Relações de Ordem

A monotonia da multiplicação varia consoante o sinal do número que multiplica:

• Se multiplicares ambos os lados por um número positivo, a desigualdade mantém-se: a < b ⟹ a×c < b×c (c > 0)
• Se multiplicares por um número negativo, a desigualdade inverte-se: a < b ⟹ a×c > b×c (c < 0)

Quando trabalhamos com duas desigualdades, podemos:

• Somá-las membro a membro: se a < b e c < d, então a + c < b + d
• Multiplicá-las membro a membro (se todos os valores forem positivos): se a < b e c < d, então ac < bd

Outras propriedades importantes são:

• Monotonia do quadrado: a < b ⟹ a² < b² (se a e b forem positivos)
• Monotonia do cubo: a < b ⟹ a³ < b³
• Propriedade transitiva: se a < b e b < c, então a < c

🔍 Dica útil! Os intervalos podem ser expressos em compreensão (usando condições) ou na forma de intervalo. Por exemplo, {x ∈ ℝ: 1 < x < 3} corresponde ao intervalo ]1,3[.

Valores Aproximados e Equações de Reta

Quando trabalhas com valores aproximados, podes determinar limites para somas e produtos:

• Se 6,2 < a < 6,3 e 3,6 < b < 3,7, então 9,8 < a+b < 10
• Para produtos, multiplica os valores extremos: se 6,7 < x < 6,8 e 2,1 < y < 2,2, então 14,07 < x×y < 14,96

A equação da reta é dada por y = mx + b, onde m representa o declive e b a ordenada na origem.

Os sistemas de equações lineares (formados por duas retas) podem ser:

• Possíveis (têm solução) ou impossíveis (não têm solução)
• Se possíveis, podem ser determinados (uma única solução, retas concorrentes) ou indeterminados (infinitas soluções, retas coincidentes)

💡 Estratégia para inequações: Resolve passo a passo - elimina parêntesis, reduz ao mesmo denominador, agrupa os termos com incógnita, e finalmente isola a incógnita.

Para resolver inequações como 2-3x+4/5 ≥ 3$1-x$, segue os passos até obteres o conjunto-solução, que neste caso é [3/4, +∞[.

Operações com Condições e Fatorizações

Ao trabalhar com condições, usamos:

• Conjunção $e$: representa interseção (∩)
• Disjunção (ou): representa união (∪)

Os casos notáveis são essenciais para simplificar expressões:

• $a+b$² = a² + 2ab + b²
• $a-b$² = a² - 2ab + b²
• a+b$$a-b = a² - b²

Para decompor um número em fatores primos, divides sucessivamente por números primos. Por exemplo, 74 = 2 × 37.

Para fatorizar polinómios, podes:

• Colocar um fator em evidência: 3x²-2y = x$3x-2$
• Utilizar os casos notáveis: a² + 2ab + b² = $a+b$²

🧠 Relembra! As fórmulas de volume e área são ferramentas poderosas. Memoriza as mais comuns: área do círculo (πr²), área do retângulo (b×h), área superficial do prisma (2×Ab + Al).

As fórmulas para volumes e áreas são fundamentais. Por exemplo, a área lateral de um cilindro é Perímetro da base × altura, enquanto a área total é 2×Ab + Al.

Lugares Geométricos

Os principais lugares geométricos que precisas de conhecer são:

• Circunferência: conjunto de pontos equidistantes de um ponto fixo (centro)
• Círculo: pontos do plano cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio
• Superfície esférica: pontos do espaço equidistantes de um ponto fixo
• Mediatriz: conjunto de pontos equidistantes de dois pontos fixos
• Bissetriz: conjunto de pontos equidistantes a duas semirretas

O ângulo ao centro relaciona-se com o comprimento do arco através da fórmula: Comprimento do arco = (α × 2πr)/360°, onde α é o ângulo ao centro em graus.

O ângulo inscrito numa circunferência é metade do ângulo ao centro correspondente ao mesmo arco: ∠ABC = ∠AOC/2.

🔄 Nota importante! Se um ângulo está inscrito numa semicircunferência, então é um ângulo reto. Esta propriedade é muito útil para identificar triângulos retângulos!

Polígonos e Ângulos

Uma propriedade interessante das circunferências: quando dois ângulos inscristos observam o mesmo arco, têm a mesma amplitude.

Os ângulos podem ser:

• Convexos: medem menos de 180°
• Côncavos: medem mais de 180°

Nos polígonos convexos com n lados:

• A soma dos ângulos internos é dada por: S = 180°$n-2$
• A soma dos ângulos externos é sempre 360°

A relação entre um ângulo interno e o seu ângulo externo adjacente: são suplementares, ou seja, somam 180°.

A amplitude de cada ângulo interno num polígono regular é igual à soma dos ângulos internos dividida pelo número de ângulos.

🔢 Truque rápido! Para calcular a amplitude de cada ângulo externo de um polígono regular, basta dividir 360° pelo número de lados. Esta fórmula é muito prática e funciona para qualquer polígono regular!

Função Quadrática

A função quadrática é do tipo f$x$ = ax², com a ≠ 0. É uma função polinomial de grau 2 cujo gráfico é uma parábola.

Características importantes:

• Quanto maior o valor absoluto de a, mais fechada é a parábola
• Se a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima (∪)
• Se a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo (∩)

A parábola tem algumas propriedades especiais:

• Pontos com abcissas simétricas têm a mesma ordenada
• O eixo dos yy é o eixo de simetria da parábola
• O vértice da parábola situa-se na origem (0,0)

🎯 Visualiza isto! Em f$x$ = ax², cada valor de y corresponde a dois valores de x (exceto no vértice). Por exemplo, se (3,9) é um ponto da parábola, então $-3,9$ também é!

Para determinar o valor de a, podes usar a fórmula a = y/x². O caso particular f$x$ = x² ocorre quando a = 1, e é a parábola "padrão".

Proporcionalidade e Equações

A proporcionalidade direta ocorre quando:

• O quociente y/x é constante: y/x = k
• A função correspondente é f$x$ = kx

Na proporcionalidade inversa:

• O produto y×x é constante: y×x = k
• A função correspondente é f$x$ = k/x

As equações de 2º grau podem ser reduzidas à forma canónica: ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são constantes e a ≠ 0.

💪 Tu consegues! Identificar uma equação de 2º grau é simples: verifica se há um termo com x² e se o coeficiente desse termo $a$ não é zero.

Uma reta é tangente a uma curva quando a toca em apenas um ponto, chamado ponto de tangência.

Como Resolver Equações de 2º Grau

Existem vários métodos para resolver equações de 2º grau, dependendo dos valores de a, b e c:

1. Caso b=0 e c=0 $ax² = 0$: A solução é x = 0

2. Caso b=0 $ax² + c = 0$:

   • Isola x²: x² = -c/a
   • Aplica a raiz quadrada: x = ±√$-c/a$
   • Exemplo: 2x² - 8 = 0 ⟹ x = ±2

3. Caso Notável $a²-b² = 0$:

   • Fatoriza como a-b$$a+b = 0
   • Exemplo: 4x²-25 = 0 ⟹ 2x-5$$2x+5 = 0 ⟹ x = ±5/2

4. Caso impossível:

   • Se obtiveres x² < 0, a equação não tem soluções reais
   • Exemplo: 3x² + 20 = 0 leva a x² = -20/3, que não tem solução real

🗝️ Lei fundamental! A Lei do Anulamento do Produto diz que se um produto é zero, então pelo menos um dos fatores é zero: a×b = 0 ⟹ a = 0 ou b = 0. Esta lei só se aplica quando o produto é igual a zero!

Resolução de Equações (continuação)

Para o caso geral (ax² + bx = 0):

• Coloca x em evidência: x$ax + b$ = 0
• Aplica a Lei do Anulamento do Produto: x = 0 ou ax + b = 0
• Resolve a equação linear: ax + b = 0 ⟹ x = -b/a

Por exemplo, para 2x² + 5x = 0:

• x$2x + 5$ = 0
• x = 0 ou 2x + 5 = 0
• x = 0 ou x = -5/2
• Conjunto-solução: {-5/2, 0}

🎯 Estratégia rápida! Quando tens uma equação do tipo ax² + bx = 0, colocar x em evidência é quase sempre o caminho mais simples. Isto transforma-a numa equação do produto igualado a zero, que é fácil de resolver!