Exercícios de Trigonometria e Geometria

No primeiro exercício, temos um trapézio [ABCD] inscrito numa circunferência de raio 1. Usando as coordenadas dadas e o ângulo de $\frac{\pi}{3}$ radianos, conseguimos calcular a área através da fórmula do trapézio, obtendo $\frac{5\sqrt{3}}{8}$.

No segundo problema, precisamos encontrar o intervalo onde a expressão $\sin(x+\frac{\pi}{2})\sin(\pi+x)$ é sempre negativa. Simplificando a expressão para $-\cos x \sin x$, e analisando os sinais nos diferentes quadrantes, concluímos que no intervalo $[-\pi,-\frac{\pi}{2}]$ a expressão é sempre negativa.

Dica importante: Quando trabalhares com expressões trigonométricas, simplifica-as primeiro usando as relações fundamentais. Isso torna muito mais fácil determinar o sinal da expressão!

O terceiro exercício envolve encontrar coordenadas num círculo trigonométrico e calcular a área de um trapézio usando funções trigonométricas. Partindo de $C(1,3)$, determinamos que $\tan\alpha = 3$ e, depois de cálculos, concluímos que as coordenadas do ponto F são $(-\frac{\sqrt{10}}{10},-\frac{3\sqrt{10}}{10})$.

Problemas de Poliedros e Funções Trigonométricas

No quarto problema, temos um dodecaedro regular com faces pentagonais e precisamos determinar ângulos e o perímetro. Como cada face é um pentágono regular, os ângulos do triângulo [ABE] são $36°$,$36°$e$108°$, e o perímetro de cada face é aproximadamente 4,9 metros.

O quinto exercício envolve calcular o valor exato de $\sin(\frac{13\pi}{6})-2\cos(\frac{2\pi}{3})+\tan(-\frac{3\pi}{4})$. Usando relações de ângulos associados, simplificamos para $\frac{1}{2}+2×\frac{1}{2}+1=\frac{5}{2}$.

No sexto problema, dado que $\sin(\pi+\alpha)=-\frac{3}{5}$ e $\alpha\in[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$, precisamos calcular $\tan(-\alpha)+\cos(\pi-\alpha)$. Determinamos que $\alpha$ está no segundo quadrante, então $\cos\alpha=-\frac{4}{5}$ e $\tan\alpha=-\frac{3}{4}$. Substituindo na expressão, obtemos $\frac{31}{20}$.

Nota: Lembra-te que para ângulos do segundo quadrante, o seno é positivo e o cosseno é negativo!

No último problema, trabalhamos com um pentágono na circunferência trigonométrica, demonstrando que a área é $3\sin\alpha\cos\alpha$e calculando seu valor exato quando$\sin$\frac{\pi}{2}-\alpha$=\frac{1}{3}$.

Resoluções Detalhadas - Parte 1

A solução do primeiro exercício mostra como calcular a área do trapézio usando a fórmula $\frac{AB+CD}{2} \times OC$. Substituindo os valores $AB=2$, $CD=\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$ e $OC=\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$, obtemos $\frac{5\sqrt{3}}{8}$.

Para o segundo exercício, analisamos a expressão $\sin(x+\frac{\pi}{2})\sin(\pi+x)$ que simplifica para $-\cos x \sin x$. Esta expressão é negativa quando $\cos x$ e $\sin x$ têm o mesmo sinal, o que ocorre no intervalo $[-\pi,-\frac{\pi}{2}]$ (terceiro quadrante).

No terceiro exercício, partimos das coordenadas de C(1,3) para encontrar $\tan \alpha = 3$. Usando relações trigonométricas, calculamos $\cos^2 \alpha = \frac{1}{10}$ e $\sin^2 \alpha = \frac{9}{10}$. Como $\alpha \in [0,\frac{\pi}{2}]$, temos $\cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$ e $\sin \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Observação: Nas questões com coordenadas no círculo trigonométrico, lembra-te que o ponto $(x,y)$ corresponde a $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ e que o ponto simétrico em relação à origem tem coordenadas $(-x,-y)$.

As coordenadas do ponto F, que é simétrico de B em relação a O, são $(-\frac{\sqrt{10}}{10},-\frac{3\sqrt{10}}{10})$.

Resoluções Detalhadas - Parte 2

Na demonstração da área do trapézio [BCDE], usamos as coordenadas dos pontos para chegar à fórmula $f(\alpha) = \frac{\sin^2\alpha \times \tan \alpha}{2}$, confirmando que esta função representa a área.

Para o problema do dodecaedro regular, calculamos que o ângulo interno do pentágono é $\frac{360°}{5} = 72°$. No triângulo [ABE], aplicamos propriedades dos triângulos isósceles para concluir que $E\hat{B}A = A\hat{E}B = 36°$ e $B\hat{A}E = 108°$.

Para calcular o perímetro, usamos a relação $\cos 36° = \frac{0,8}{\overline{AB}}$, o que nos dá $\overline{AB} = \frac{0,8}{\cos 36°}$. Multiplicando por 5 (número de lados), obtemos o perímetro aproximado de 4,9 metros.

Dica prática: Nos problemas de geometria, faz sempre um esboço da figura e identifica os triângulos e ângulos. Isso facilita muito a visualização e resolução!

No cálculo da expressão trigonométrica $\sin(\frac{13\pi}{6})-2\cos(\frac{2\pi}{3})+\tan(-\frac{3\pi}{4})$, usamos ângulos associados para simplificar para $\sin\frac{\pi}{6}+2\cos\frac{\pi}{3}+\tan\frac{\pi}{4}$. Substituindo os valores conhecidos, chegamos a $\frac{1}{2}+2\times\frac{1}{2}+1=\frac{5}{2}$.

Resoluções Detalhadas - Parte 3

No sexto exercício, partimos de $\sin(\pi+\alpha)=-\frac{3}{5}$, o que implica que $\sin\alpha=\frac{3}{5}$. Como $\alpha \in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$, sabemos que $\alpha$ está no segundo quadrante.

Usando a identidade $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, calculamos $\cos^2\alpha=\frac{16}{25}$. Como $\alpha$ está no segundo quadrante, $\cos\alpha=-\frac{4}{5}$ e $\tan\alpha=-\frac{3}{4}$.

Para calcular $\tan(-\alpha)+\cos(\pi-\alpha)$, aplicamos as relações $\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$ e $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$, obtendo $\frac{3}{4}+\frac{4}{5}=\frac{31}{20}$.

Lembra-te: As relações de ângulos associados são fundamentais! Memoriza-as bem: $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$, $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$, etc.

No último problema, calculamos a área do pentágono [ABCDO] como a soma das áreas de triângulos, obtendo $3\sin\alpha\cos\alpha$.

Quando $\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\frac{1}{3}$, temos $\cos\alpha=\frac{1}{3}$ e, consequentemente, $\sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ pois $\alpha \in ]0,\frac{\pi}{2}[$. Substituindo estes valores, a área do pentágono é $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.