Paralelogramo e Interseção de Funções

Neste primeiro problema, trabalhamos com as funções f$x$=½x² e g$x$=ax+4, onde a>0, num paralelogramo [OCBA] representado num referencial cartesiano.

Para determinar o valor de a, usamos o facto de que o gráfico de g contém o ponto A, que tem abcissa -2f(2). Como f(2)=½×2²=2, a abcissa de A é -4. Substituindo na equação de g, obtemos -4a+4=0, o que nos dá a=1.

Para encontrar as coordenadas do ponto C (interseção dos gráficos), resolvemos a equação ½x²=x+4, que nos dá x=4 ou x=-2. Como precisamos da abcissa positiva, o ponto C tem coordenadas (4,8).

💡 A área do paralelogramo [OCBA] é calculada multiplicando a base pela altura. Como O é a origem e C tem coordenadas (4,8), a área é 4×8=32 unidades quadradas.

Triângulo Retângulo e Funções

No segundo problema, lidamos com um triângulo [ABC] formado pela interseção das funções f$x$=-2x² (reflexão de h$x$=2x² em relação ao eixo Ox) e g$x$=x-1.

Para encontrar os pontos A e B, resolvemos a equação f$x$=g$x$, ou seja, -2x²=x-1. Isto dá-nos x=-1 ou x=½. Ao substituir estes valores em g$x$, confirmamos que A$-1,-2$ e B(½,-½) são os pontos de interseção.

Como o triângulo é retângulo em C, podemos calcular BC=3/2 e AC=3/2. Sendo um triângulo retângulo isósceles, o ângulo C𝐵̂A=45°.

💡 Quando duas retas são paralelas, têm o mesmo declive. A equação da reta que passa na origem e é paralela a AB é y=x, porque a reta AB tem declive 1.

No exercício 3, a opção (D) representa uma função de proporcionalidade inversa, pois seu gráfico tem a forma característica de hipérbole e nunca toca os eixos.

Resolução Detalhada dos Problemas

Vejamos como resolver estes problemas passo a passo:

No primeiro problema, a chave está em usar as informações dadas. Verificamos que a abcissa de A é -4, e para que g passe por A, temos que ter a=1. Para determinar o ponto C, resolvemos a equação ½x²=x+4 usando a fórmula resolvente, o que nos dá as coordenadas (4,8).

No segundo problema, para encontrar os pontos de interseção, resolvemos -2x²=x-1 e obtemos x=-1 e x=½. Calculamos as coordenadas completas substituindo estes valores em g$x$.

Para determinar o ângulo C𝐵̂A, usamos o facto de que o triângulo é retângulo e isósceles (BC=AC=3/2), o que significa que C𝐵̂A=45°.

💡 As funções de proporcionalidade inversa têm a forma f$x$=k/x e seus gráficos são hipérboles. Elas nunca tocam os eixos e têm os eixos coordenados como assíntotas.

A resolução destes problemas mostra como aplicar conhecimentos de funções para resolver questões geométricas.