Apontamentos sobre Macs

Teoria Matemática das Eleições

Os sistemas de votação são métodos matemáticos que nos ajudam a tomar decisões coletivas. Existem principalmente dois tipos:

No sistema majoritário, a escolha é baseada no número de votos. Este pode ser de:

• Maioria simples (ou relativa): vence a opção com mais votos, independentemente da diferença
• Maioria absoluta: vence a opção que obtém pelo menos metade dos votos mais um

Quando nenhuma opção consegue maioria absoluta, pode haver uma segunda votação, envolvendo apenas as duas opções mais votadas ou todas novamente.

No sistema preferencial, cada votante expressa sua ordem de preferência para todas as opções disponíveis. Isso permite aplicar diferentes métodos eleitorais:

• Método da pluralidade: vence quem tiver mais primeiros lugares
• Métodos de eliminação run-off: eliminam candidatos com menos votos, podendo ser:
  • Simples: mantém apenas os dois mais votados
  • Sequencial: elimina um candidato de cada vez

💡 Os resultados de uma eleição podem mudar completamente dependendo do sistema de votação utilizado!

Cada sistema tem suas vantagens e limitações, e a escolha do método pode influenciar significativamente o resultado final.

Métodos Eleitorais Avançados

Além dos métodos básicos, existem sistemas mais sofisticados para eleições preferenciais:

O método de Borda atribui pontos às opções conforme a preferência dos eleitores. Numa eleição com N alternativas:

• A primeira preferência recebe N pontos
• A segunda recebe N-1 pontos
• E assim por diante até a última, que recebe 1 ponto

A opção com mais pontos vence a eleição. Este método valoriza não apenas a primeira escolha, mas todas as preferências dos votantes.

No método de Condorcet, ocorrem "eleições" entre cada par de candidatos. Se um candidato vencer todos os confrontos diretos, é declarado vencedor. Contudo, este método pode resultar no paradoxo de Condorcet, quando não há um vencedor claro.

O sistema de aprovação permite que cada eleitor vote em quantos candidatos desejar. Cada candidato aprovado recebe um voto, e quem tiver mais votos ganha. Uma característica importante é que a adição ou remoção de candidatos não altera a pontuação dos outros.

Teorema de Arrow (da impossibilidade): este importante teorema matemático demonstra que é impossível criar um sistema de votação perfeito que atenda simultaneamente a todas as condições consideradas básicas numa democracia.

💡 Nenhum sistema eleitoral é perfeito! Cada método tem vantagens e desvantagens que devem ser consideradas conforme o contexto.

Teoria da Partilha Equilibrada

A partilha equilibrada visa dividir objetos ou poder entre diferentes partes de forma justa. Existem três tipos principais de partilha:

1. Partilhas no caso discreto: Envolve a divisão de objetos indivisíveis (casas, carros)
2. Partilhas no caso contínuo: Trata da divisão de objetos que podem ser divididos infinitamente (terrenos, bolos)
3. Partilhas no caso misto: Combina objetos dos dois tipos anteriores

Para a divisão justa de objetos discretos, podemos utilizar vários métodos:

O método do ajuste na partilha divide itens entre dois intervenientes seguindo estas etapas:

1. Cada participante distribui 100 pontos entre os itens
2. Cada item é atribuído inicialmente a quem mais o valorizou
3. Realiza-se um balanço e transferências para igualar pontos

O método das licitações secretas funciona através de:

1. Atribuição secreta de valores monetários aos itens
2. Cálculo da parte justa para cada interveniente
3. Distribuição dos itens a quem mais os valorizou
4. Compensações financeiras para equilibrar as partes

No método dos marcadores, os intervenientes:

1. Alinham os objetos e dividem a fila em partes iguais usando marcadores
2. Recebem os segmentos conforme a posição dos marcadores

💡 Uma partilha eficiente garante que não existe melhor distribuição possível, enquanto uma partilha equitativa garante que todos recebem o mesmo valor subjetivo!

Métodos de Divisão Proporcional

Quando precisamos dividir proporcionalmente (como lugares num parlamento), temos vários métodos disponíveis:

O método de Hondt é amplamente utilizado em sistemas eleitorais e segue estes passos:

1. Contar os votos de cada lista eleitoral
2. Dividir o número de votos por 1, 2, 3... até ao número de mandatos
3. Ordenar os quocientes e atribuir os mandatos por ordem decrescente

O método de Sainte-Lague é semelhante ao de Hondt, mas usa apenas divisores ímpares (1, 3, 5...), o que tende a favorecer partidos menores.

No método de Hamilton:

1. Calcula-se o divisor padrão (população total ÷ lugares a atribuir)
2. Determina-se a quota padrão de cada estado
3. Atribui-se a cada estado sua quota inferior (arredondando por defeito)
4. Os lugares restantes são distribuídos pela ordem decrescente da parte decimal

O método de Jefferson e o método de Adams usam divisores modificados, sendo que o primeiro arredonda por defeito e o segundo por excesso.

O método de Webster arredonda ao inteiro mais próximo, enquanto o método de Huntington-Hill usa a média geométrica como critério de arredondamento.

💡 A regra da quota estabelece que um método justo deve atribuir a cada participante um número de lugares igual à sua quota superior ou inferior.

Diferentes métodos podem produzir resultados distintos na mesma situação, por isso é importante escolher o método mais adequado para cada contexto específico.

Partilhas no Caso Contínuo

Quando precisamos dividir objetos que podem ser fracionados (como terrenos ou bolos), utilizamos métodos específicos:

No método do divisor-selecionador:

1. Um participante (divisor) divide o objeto em duas partes iguais
2. O outro participante (selecionador) escolhe uma das partes
3. O divisor fica com a parte restante

Este método garante que nenhum participante sinta inveja, pois o divisor faz partes que considera iguais e o selecionador escolhe a que prefere.

O método do divisor único estende o conceito para mais participantes:

1. Um participante divide o objeto em partes iguais
2. Os outros escolhem, podendo haver várias situações diferentes dependendo das escolhas

No método do selecionador único:

1. Um participante é designado como selecionador
2. Os outros dividem o objeto entre si
3. Cada divisor divide sua parte em partes iguais
4. O selecionador escolhe porções de cada divisor

O método do último a diminuir permite que qualquer participante seja divisor e selecionador:

1. O primeiro jogador escolhe uma porção
2. Cada jogador seguinte pode aceitá-la ou diminuí-la
3. O último a diminuir fica com essa porção e sai do jogo
4. O processo repete-se até ficarem apenas dois jogadores

💡 Um método é considerado livre de inveja quando nenhum participante prefere a parte recebida por outro à sua própria!

Estes métodos são importantes para resolver situações práticas como divisão de heranças, terras ou qualquer recurso divisível.

Estatística Descritiva Básica

A estatística é a ciência que nos ajuda a analisar e interpretar dados. Alguns conceitos fundamentais incluem:

• População: conjunto completo de elementos que queremos estudar
• Amostra: subconjunto da população usado para análise
• Variável estatística: característica que pode ser observada ou medida

As variáveis podem ser:

• Qualitativas: descrevem qualidades (cor dos olhos, profissão)
• Quantitativas discretas: valores numéricos isolados (número de irmãos)
• Quantitativas contínuas: valores dentro de um intervalo (altura, temperatura)

Um estudo estatístico geralmente segue quatro fases:

1. Identificação do objeto de estudo
2. Recolha de dados
3. Organização e apresentação dos dados
4. Análise e interpretação dos resultados

Para organizar os dados, usamos tabelas de frequências com:

• Frequência absoluta $f$: número de vezes que o valor aparece
• Frequência relativa (fr): proporção do valor em relação ao total
• Frequência acumulada (F): soma das frequências até determinado valor

💡 A estatística descritiva resume os dados, enquanto a estatística indutiva permite tirar conclusões sobre a população a partir da amostra!

Quando trabalhamos com dados agrupados em classes (intervalos), usamos a marca da classe (valor médio do intervalo) para cálculos aproximados.

Medidas de Tendência Central e Dispersão

Para descrever um conjunto de dados, usamos diferentes medidas estatísticas:

A média aritmética é a soma de todos os valores dividida pelo número total de observações. Se os dados estiverem agrupados em classes, usamos a marca da classe para o cálculo.

A moda é o valor que ocorre com maior frequência. Uma amostra pode ser:

• Amodal: quando todos os valores têm a mesma frequência
• Plurimodal: quando existem vários valores com a frequência mais alta
• Para dados agrupados, identificamos a classe modal

A mediana é o valor central que divide o conjunto ordenado em duas partes iguais:

• Se o número de dados for ímpar, é o valor central
• Se for par, é a média dos dois valores centrais

Os quartis dividem os dados em quatro partes iguais:

• 1º quartil (Q1): 25% dos dados são inferiores a este valor
• 2º quartil (Q2): é a mediana (50%)
• 3º quartil (Q3): 75% dos dados são inferiores a este valor

O diagrama de extremos e quartis (ou boxplot) é uma representação gráfica que mostra:

• Os extremos (mínimo e máximo)
• Os quartis (Q1, Q2 e Q3)
• A distribuição e simetria dos dados

💡 Podemos avaliar a assimetria de uma distribuição pela relação entre média, mediana e moda:

• Simétrica: média = mediana = moda
• Assimétrica positiva: média > mediana > moda
• Assimétrica negativa: média < mediana < moda

Medidas de Dispersão e Análise Bivariada

As medidas de dispersão nos ajudam a entender quão espalhados estão os dados:

A amplitude é a diferença entre o valor máximo e o mínimo:

Amplitude = Xmáx - Xmín

A amplitude interquartil é a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil:

AIQ = Q3 - Q1

Esta medida ignora 25% dos valores em cada extremo, sendo menos afetada por valores atípicos.

O desvio padrão $s$ mede a variabilidade dos dados em relação à média:

s = √[∑(xi - x̄)²/(n-1)]

Quanto maior o desvio padrão, maior a dispersão dos dados.

Na distribuição normal:

• Aproximadamente 68% dos dados estão no intervalo $μ-σ, μ+σ$
• Cerca de 95% estão no intervalo $μ-2σ, μ+2σ$
• Quase 100% estão no intervalo $μ-3σ, μ+3σ$

Para analisar a relação entre duas variáveis, usamos:

• Diagrama de dispersão (ou nuvem de pontos): gráfico que mostra pontos cujas coordenadas são os valores das duas variáveis
• Coeficiente de correlação $r$: mede o grau de associação linear entre as variáveis, variando entre -1 e 1

💡 O tipo de correlação pode ser:

• Positiva: quando uma variável aumenta, a outra também aumenta
• Negativa: quando uma variável aumenta, a outra diminui
• Nula: quando não há relação aparente entre as variáveis

Quando pelo menos uma das variáveis é qualitativa, usamos tabelas de contingência para organizar os dados.

Modelos Financeiros: Impostos

Os impostos são contribuições obrigatórias que as famílias pagam ao Estado e podem ser:

• Impostos diretos: incidem diretamente sobre o rendimento

  • IRS (Imposto sobre o Rendimento de Pessoas Singulares)
  • IRC (Imposto sobre o Rendimento de Pessoas Coletivas)

• Impostos indiretos: incidem sobre o consumo ou património

  • IVA (Imposto sobre o Valor Acrescentado)
  • IMI (Imposto Municipal sobre Imóveis)
  • IMT (Imposto Municipal sobre Transmissões)
  • Outros (imposto sobre veículos, combustíveis, tabaco, etc.)

O IVA é um imposto sobre o consumo. Para calcular:

Valor do IVA = Preço sem IVA × Taxa de IVA

ou

Valor do IVA = Preço com IVA - (Preço com IVA ÷ (1 + Taxa de IVA))

O IMI incide sobre o valor patrimonial tributário dos imóveis em Portugal. Para prédios urbanos, calcula-se:

Vt = Vc × A × Ca × Cl × Cq × Cv

Onde:

• Vc: valor base dos prédios edificados
• A: área bruta de construção
• Ca: coeficiente de afetação
• Cl: coeficiente de localização
• Cq: coeficiente de qualidade e conforto
• Cv: coeficiente de vetustez

O IMT aplica-se na compra de imóveis:

IMT = valor do imóvel × Taxa - parcela a abater

💡 No caso do IRS, o valor a pagar depende do rendimento coletável (rendimento bruto após deduções) e do estado civil do contribuinte. Para casados, o rendimento é dividido por 2 antes de aplicar a taxa!

Inflação e Modelos Financeiros: Depósitos e Juros

A inflação é o aumento generalizado e contínuo dos preços dos bens, enquanto a deflação é a sua descida generalizada. A principal consequência da inflação é a redução do poder de compra.

A taxa de inflação pode ser calculada através do Índice de Preços ao Consumidor (IPC):

Taxa de inflação = (IPC ano atual - IPC ano anterior)/IPC ano anterior × 100

Nos depósitos bancários, existem várias modalidades:

• Contas à ordem (disponibilidade imediata)
• Contas a prazo (depósitos por períodos fixos)
• Contas poupança (finalidade específica)
• Contas títulos e fundos (investimentos)

Os juros podem ser de dois tipos:

1. Juro simples: calculado apenas sobre o capital inicial

CN = Ci + (Ci × j × N)/100

Onde:

• CN = capital ao fim de N anos
• Ci = capital inicial
• j = taxa de juro anual (%)
• N = número de anos

2. Juro composto: adiciona os juros vencidos ao capital para gerar novos juros

CN = Ci × (1 + j/400)^N

💡 O juro composto cresce mais rapidamente que o juro simples, pois há "juros sobre juros"! A diferença torna-se mais significativa quanto mais longo for o período do depósito.

No mundo financeiro, compreender como funcionam os juros é essencial para tomar decisões informadas sobre poupanças e investimentos.