Linguagem da Lógica Proposicional

A lógica proposicional trabalha com proposições que podem ser verdadeiras ou falsas. Estas proposições podem ser simples (como "António vai jantar fora") ou complexas (como "António vai jantar fora e ao cinema").

Para formalizar estas proposições, usamos um dicionário que atribui letras (variáveis proposicionais) a frases declarativas. Por exemplo: P: "António vai jantar fora" e Q: "António vai ao cinema". Isto permite transformar argumentos em linguagem normal para uma forma lógica estruturada.

A negação (simbolizada por ¬) é um dos operadores básicos da lógica proposicional, indicando que uma proposição não é verdadeira. Por exemplo, ¬P significa "Não é verdade que António vai jantar fora".

⚡ Dica útil: Ao formalizar um argumento, primeiro identifique todas as proposições simples e atribua-lhes letras diferentes antes de adicionar os operadores lógicos.

Operadores Proposicionais

Os operadores lógicos permitem combinar proposições simples para formar proposições complexas:

A conjunção (∧) corresponde a "e", "mas", "também" - sendo verdadeira apenas quando ambas as proposições são verdadeiras.

A disjunção inclusiva (∨) corresponde a "ou" - sendo verdadeira quando pelo menos uma proposição é verdadeira.

A disjunção exclusiva (∨) corresponde a "ou...ou" - sendo verdadeira quando exatamente uma proposição é verdadeira.

O condicional (→) corresponde a "se...então" - estabelecendo uma condição suficiente. Na formalização "P → Q", P é o antecedente e Q é o consequente.

O bicondicional (↔) corresponde a "se e somente se" - estabelecendo uma condição necessária e suficiente.

🔑 Lembra-te: Os conectivos como ∧, ∨, →, ↔ são operadores verofuncionais, ou seja, o valor de verdade da proposição composta depende apenas dos valores de verdade das proposições componentes.

Formalização Complexa e de Argumentos

Na formalização complexa, usamos mais de duas variáveis e vários operadores. Para resolver estas formalizações, é crucial identificar o operador com maior âmbito - aquele que se aplica a toda a proposição.

Por exemplo, para "A Vera foi a Lisboa e ao Porto, ou a Guimarães":

• P: A Vera foi a Lisboa
• Q: A Vera foi ao Porto
• R: A Vera foi a Guimarães
• Formalização: (P ∧ Q) ∨ R

Para formalizar argumentos completos, identificamos as premissas e a conclusão. Por exemplo:

• "Se o Professor Plum matou o Mr. Boddy, então ele teve acesso à comida."
• "O Professor Plum não teve acesso à comida."
• "Logo, o Professor Plum não matou o Mr. Boddy."

Formalização: (P → Q), ¬Q ∴ ¬P

💡 Nota importante: O símbolo ∴ significa "portanto" e separa as premissas da conclusão na formalização de argumentos.

Funções de Verdade e Tabelas de Verdade

As funções de verdade determinam quando uma proposição complexa é verdadeira ou falsa, dependendo dos valores de verdade das proposições simples que a compõem.

Tabelas de verdade são diagramas que mostram todas as possíveis combinações de valores de verdade para as variáveis proposicionais em uma fórmula. Vamos ver algumas tabelas básicas:

Para a negação, ¬P é verdadeiro quando P é falso, e vice-versa.

Para a conjunção (P ∧ Q), o resultado é verdadeiro apenas quando ambos P e Q são verdadeiros.

A disjunção inclusiva (P ∨ Q) é verdadeira quando pelo menos um dos elementos é verdadeiro.

A disjunção exclusiva (P ∨ Q) é verdadeira quando exatamente um elemento é verdadeiro.

O condicional (P → Q) é falso apenas quando o antecedente é verdadeiro e o consequente falso.

O bicondicional (P ↔ Q) é verdadeiro quando ambos os elementos têm o mesmo valor de verdade.

🧩 Dica prática: As tabelas de verdade são ferramentas essenciais para verificar a validade de argumentos - elas mostram todas as possibilidades lógicas!

Classificação de Proposições e Tabelas Complexas

As proposições podem ser classificadas em:

• Tautologias: sempre verdadeiras em todas as circunstâncias
• Contradições: sempre falsas em todas as circunstâncias
• Contingências: podem ser verdadeiras ou falsas, dependendo da circunstância

Para construir tabelas de verdade complexas, começamos com os operadores de menor âmbito e avançamos para os de maior âmbito. Por exemplo, para (P ∧ Q) → R:

1. Primeiro calculamos (P ∧ Q)
2. Em seguida, aplicamos o condicional para obter o resultado final

Um argumento válido ocorre quando não existe nenhuma circunstância em que todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Utilizamos tabelas de validade (ou "inspetores de circunstâncias") para verificar isso.

🔍 Lembra-te: Ao construir tabelas de verdade complexas, trabalha sempre de dentro para fora, começando pelas operações entre parênteses e seguindo a ordem de precedência dos operadores.

Argumentos Válidos e Inválidos

Um argumento é inválido quando existe pelo menos uma circunstância em que todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Por exemplo:

(P → Q), Q ∴ P

Na linha onde P=F e Q=V, as premissas são verdadeiras mas a conclusão é falsa, tornando este argumento inválido.

Negações de proposições podem ser simples (como "A Joana foi à praia" → "A Joana não foi à praia") ou mais complexas com proposições quantificadas (como "Todos os alunos gostam de férias" → "Nem todos os alunos gostam de férias").

Proposições categóricas afirmam ou negam algo sem condições, contendo:

• Um sujeito (S) - aquilo sobre o que se fala
• Uma cópula (verbo) - geralmente o verbo "ser"
• Um predicado (P) - o que se afirma sobre o sujeito
• Um quantificador - palavras como "todos", "alguns", "nenhum"

📝 Importante: Identificar corretamente a estrutura de uma proposição categórica é essencial para sua análise lógica e para determinar sua negação apropriada.

Proposições Categóricas e Classificação

As proposições categóricas em forma padrão ou canónica seguem estruturas como "Todo S é P" ou "Nenhum S é P". Podemos classificá-las usando dois critérios:

Quanto à quantidade:

• Universais: referem-se a todos os elementos do conjunto (Todo, Nenhum)
• Particulares: referem-se a apenas alguns elementos (Algum, Algum não)

Quanto à qualidade:

• Afirmativas: atribuem uma qualidade (Todo, Algum)
• Negativas: negam uma qualidade (Nenhum, Algum não)

Estas classificações resultam em quatro tipos básicos:

• A: Universal afirmativa (Todo S é P)
• I: Particular afirmativa (Algum S é P)
• E: Universal negativa (Nenhum S é P)
• O: Particular negativa (Algum S não é P)

O quadro da oposição relaciona estas proposições, mostrando como estão logicamente interconectadas.

🎯 Dica de estudo: Memorizar as letras A, E, I, O e suas correspondentes proposições categóricas facilita muito a análise de argumentos clássicos como os silogismos.

Negação de Proposições Complexas

Para negar proposições complexas, aplicamos regras específicas:

Negação de conjunções (Leis de De Morgan): ¬(P ∧ Q) = ¬P ∨ ¬Q

Exemplo: "Não é verdade que a Joana foi à praia e ao cinema" equivale a "A Joana não foi à praia ou não foi ao cinema".

Negação de disjunções (Leis de De Morgan): ¬(P ∨ Q) = ¬P ∧ ¬Q

Exemplo: "Não é verdade que a Joana foi à praia ou ao cinema" equivale a "A Joana não foi à praia e não foi ao cinema".

Negação de condicionais: ¬(P → Q) = P ∧ ¬Q

Negação de bicondicionais: ¬(P ↔ Q) = (¬P ∧ Q) ∨ (P ∧ ¬Q)

🧠 Verificação rápida: Se tiveres dúvidas se duas expressões são logicamente equivalentes, constrói uma tabela de verdade para cada uma. Se os resultados finais forem iguais, as expressões são equivalentes.

Formas de Inferência Válidas

Existem várias formas de inferência válidas que são fundamentais na lógica proposicional:

Modus Ponens (MP): (P → Q), P ∴ Q Se P implica Q, e P é verdadeiro, então Q é verdadeiro.

Modus Tollens (MT): (P → Q), ¬Q ∴ ¬P Se P implica Q, e Q é falso, então P também é falso.

Silogismo Hipotético/Condicional $SH/SC$: (P → Q), (Q → R) ∴ (P → R) Se P implica Q, e Q implica R, então P implica R.

Silogismo Disjuntivo (SD): (P ∨ Q), ¬Q ∴ P Se P ou Q é verdadeiro, e Q é falso, então P é verdadeiro.

Leis de De Morgan:

• ¬(P ∨ Q) ∴ ¬P ∧ ¬Q (Negação disjuntiva)
• ¬(P ∧ Q) ∴ ¬P ∨ ¬Q (Negação conjuntiva)

Contraposição: P → Q ∴ ¬Q → ¬P A contraposição de uma condicional é logicamente equivalente à condicional original.

🌟 Aplicação prática: Estas formas de inferência são essenciais para construir provas lógicas e reconhecer argumentos válidos em textos e debates.

Falácias Formais

Falácias formais são argumentos que parecem válidos, mas contêm erros estruturais que os tornam inválidos. As duas principais falácias formais são:

Falácia da Afirmação do Consequente (FAC):

(A → B)
B
∴ A

Este argumento é inválido porque confunde a condição suficiente com a necessária. Não se pode concluir A apenas porque B ocorreu, já que B pode ocorrer por outras razões.

Falácia da Negação do Antecedente (FNA):

(A → B)
¬A
∴ ¬B

Este argumento é inválido porque nega a condição suficiente. Não podemos concluir que B não ocorre simplesmente porque A não ocorre, já que B pode ocorrer independentemente de A.

⚠️ Cuidado especial: Estas falácias são perigosas porque parecem muito com formas válidas de inferência. A FAC parece o Modus Ponens e a FNA parece o Modus Tollens, mas têm estruturas logicamente distintas!