Le nombre dérivé - Introduction

Le nombre dérivé est partout autour de toi ! Imagine que tu regardes la courbe d'une fonction sur ton écran - le nombre dérivé te dit exactement à quelle vitesse cette courbe monte ou descend à n'importe quel point.

Pour le calculer, on utilise d'abord le taux d'accroissement. C'est la formule magique : $f(a+h) - f(a)$/h. Cette formule compare la fonction entre deux points très proches.

💡 Astuce pratique : Le taux d'accroissement, c'est comme calculer la vitesse moyenne entre deux feux rouges - sauf qu'ici on s'intéresse aux fonctions !

Exercice 1 - Fonction quadratique

Avec la fonction f(x) = x² - 3x + 1, tu vas voir que les calculs deviennent plus simples qu'ils n'y paraissent ! D'abord, on trouve le taux d'accroissement : 2a + h - 3.

Ensuite, pour obtenir le nombre dérivé f'(a), on fait tendre h vers 0. Résultat : f'(a) = 2a - 3. C'est tout !

Pour l'équation de la tangente au point x = 2, on applique la formule y = f'(a)$x-a$ + f(a). Avec nos calculs, ça donne y = x - 3.

💡 Rappel important : La tangente "touche" la courbe en un seul point et a la même pente que la courbe à cet endroit !

Exercice 2 - Interprétation graphique

Quand on te donne une tangente avec son équation y = -2x + 5 au point A(1;3), tu peux en tirer plein d'infos ! Le point A nous dit directement que g(1) = 3.

Le coefficient directeur -2 de la tangente, c'est exactement la valeur de g'(1). Donc g'(1) = -2. Simple comme bonjour !

Puisque g'(1) = -2 < 0, la fonction est décroissante au voisinage du point A. Un nombre dérivé négatif = fonction qui descend !

💡 Truc de mémorisation : Coefficient directeur positif → fonction qui monte, négatif → fonction qui descend !

Exercice 3 - Application physique

Avec un projectile de hauteur h(t) = -5t² + 20t + 1, tu découvres que la vitesse instantanée est la dérivée de la hauteur ! Donc v(t) = -10t + 20.

À t = 1 seconde, la vitesse est v(1) = 10 m/s. Le projectile monte encore à ce moment-là !

Pour trouver la hauteur maximale, on cherche quand v(t) = 0. Ça donne -10t + 20 = 0, donc t = 2 secondes. À ce moment précis, le projectile s'arrête de monter avant de redescendre.

💡 Astuce physique : En physique, la dérivée de la position donne la vitesse. Quand la vitesse = 0, on est à un extremum !