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Matemática

29 de nov. de 2025

327

3 páginas

Guia de Cálculo Combinatório – Matemática 12° Ano

B

Bruna Martins @brunamartins445

A Matemática Discreta é a base para muitos conceitos em computação e análise combinatória. Nestes apontamentos, exploramos operações... Mostrar mais

--- OCR Start --- Leis de Morgan $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$ $\overline{AUB}=\overline{A}\cap\overline{B}$ Fatorial de

Fundamentos da Análise Combinatória

As Leis de Morgan são regras fundamentais na teoria de conjuntos que nos permitem manipular operações entre conjuntos

  • A∩B‾=A‾∪B‾\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B} (O complementar da interseção é igual à união dos complementares)
  • AUB‾=A‾∩B‾\overline{AUB}=\overline{A}\cap\overline{B} (O complementar da união é igual à interseção dos complementares)

O fatorial de um número natural m, representado por m!, é o produto de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a m m! = m × m−1m-1 × m−2m-2 × ... × 2 × 1

💡 Lembra-te que 0! = 1 por definição, o que é uma convenção matemática muito útil em fórmulas combinatórias!

Os arranjos são configurações onde a ordem dos elementos importa

  • Arranjos com repetição Quando selecionamos k elementos entre n elementos, com a ordem a importar e podendo repetir elementos. Calculado por CA′k=nk{CA^{\prime}}_{k}=n^k
  • Arranjos sem repetição Quando selecionamos k elementos entre n elementos, com a ordem a importar e sem repetir elementos. Calculado por nAk=n!(n−k)!^{n}A_k=\frac{n!}{(n-k)!}

As permutações são casos especiais de arranjos onde usamos todos os elementos disponíveis. Representadas por Pn=n!P_{n}=n!

--- OCR Start --- Leis de Morgan $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$ $\overline{AUB}=\overline{A}\cap\overline{B}$ Fatorial de

Combinações

As combinações representam o número de subconjuntos de k elementos que podemos formar a partir de um conjunto com n elementos, quando a ordem dos elementos não importa.

A fórmula para calcular combinações é nCk=nAkk!^n C_k = \frac{^n A_k}{k!} ou, alternativamente, nCk=n!k!(n−k)!^n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Ao contrário dos arranjos, nas combinações apenas nos interessa quais elementos estão presentes no subconjunto, e não a ordem em que eles aparecem. Isto é útil em situações como selecionar uma equipa ou escolher cartas em jogos.

⚠️ Não confundas combinações com arranjos! Nas combinações, {A,B,C} é igual a {C,B,A}, enquanto nos arranjos estas seriam configurações diferentes.

As combinações são especialmente importantes em probabilidade, estatística, e em problemas do quotidiano onde precisamos contar o número de possíveis grupos que podem ser formados.

--- OCR Start --- Leis de Morgan $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$ $\overline{AUB}=\overline{A}\cap\overline{B}$ Fatorial de

Pensávamos que não ias perguntar...

O que é o Companheiro de Aprendizagem com IA da Knowunity?

O nosso companheiro de aprendizagem com IA foi especificamente criado para as necessidades dos estudantes. Com base nos milhões de conteúdos que temos na plataforma, podemos fornecer respostas verdadeiramente significativas e relevantes para os estudantes. Mas não se trata apenas de respostas, o companheiro foca-se mais em guiar os estudantes através dos seus desafios diários de aprendizagem, com planos de estudo personalizados, quizzes ou conteúdos no chat e 100% de personalização baseada nas habilidades e desenvolvimentos do estudante.

Onde posso fazer o download da app Knowunity?

Pode descarregar a aplicação na Google Play Store e na Apple App Store.

Como posso receber o meu pagamento? Quanto posso ganhar?

Sim, tem acesso gratuito ao conteúdo da aplicação e ao nosso companheiro de IA. Para desbloquear determinadas funcionalidades da aplicação, pode adquirir o Knowunity Pro.

2

Ferramentas Inteligentes NOVO

Transforma estes apontamentos em: ✓ 50+ Questões de Prática ✓ Cartões de Estudo Interactivos ✓ Exame Simulado Completo ✓ Esquemas de Ensaio

Exame Simulado
Quiz
Flashcards
Ensaio

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Avaliações dos nossos utilizadores. Eles adoraram tudo — e tu também vais adorar.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

A App é muito fácil de usar e está nem organizada. Encontrei tudo o que estava à procura até agora e consegui aprender muito com as apresentações! Vou usar a app para um trabalho escolar! E claro que também me ajuda muito como inspiração.

João S

utilizador iOS

Esta app é realmente incrível. Há tantas anotações de estudo e ajuda [...]. A minha disciplina problemática é Francês, por exemplo, e a app tem muitas opções de ajuda. Graças a esta app, melhorei o meu Francês. Eu recomendo a qualquer pessoa.

Sara C.

utilizadora Android

Uau, estou realmente impressionado. Acabei de experimentar o app porque o vi anunciado muitas vezes e fiquei absolutamente surpreso. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece tantas coisas, como exercícios e folhas de fatos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.

Ana

utilizadora iOS

Eu costumava ter dificuldade para completar os meus trabalhos a tempo até descobrir a Knowunity, que não só facilita o upload do meu próprio conteúdo, mas também oferece ótimos resumos que tornam o meu trabalho mais rápido e eficiente.

Tomás R

utilizador iOS

Sempre foi um desafio encontrar todas as informações importantes para os meus trabalhos – desde que comecei a usar a Knowunity, posso simplesmente fazer upload do meu conteúdo e aproveitar os resumos dos outros, o que me ajuda muito com a organização.

Luísa M

utilizadora Android

Eu frequentemente sentia que não tinha uma visão geral suficiente ao estudar, mas desde que comecei a usar o Knowunity, isso não acontece mais – faço upload do meu conteúdo e encontro sempre resumos úteis na plataforma, o que torna meu aprendizado muito mais fácil.

David F

utilizador iOS

O app é simplesmente incrível! Só preciso digitar o tema na barra de pesquisa e recebo a resposta super rápido. Não preciso assistir 10 vídeos no YouTube para entender algo, então economizo meu tempo. Super recomendo!

Marco O

utilizador Android

Na escola eu era péssimo em matemática, mas graças ao app, estou me saindo melhor agora. Sou muito grato por vocês terem criado o app.

André B

utilizador Android

Costumava ser muito difícil reunir todas as informações para minhas apresentações. Mas desde que comecei a usar o Knowunity, só preciso de carregar os meus apontamentos e encontrar resumos incríveis de outros - isso torna meu estudo muito mais eficiente!

Júlia S

utilizadora Android

Estava constantemente stressado com todo o material de estudo, mas desde que comecei a usar a Knowunity, carrego as minhas coisas e vejo os resumos dos outros - isto ajuda-me a gerir tudo melhor e é muito menos stressante.

Marco B

utilizador iOS

Foi sempre complicado encontrar os materiais certos para os meus trabalhos. Agora faço upload das minhas anotações na Knowunity e vejo os melhores resumos dos outros - isto realmente ajudou-me a entender tudo mais rápido e melhora as minhas notas.

Sarah L

utilizadora Android

Eu costumava passar horas no Google à procura de materiais escolares, mas agora só carrego as minhas coisas na Knowunity e vejo os resumos dos outros - sinto-me muito mais confiante quando me preparo para testes.

Paulo T

utilizador iOS

A App é muito fácil de usar e está nem organizada. Encontrei tudo o que estava à procura até agora e consegui aprender muito com as apresentações! Vou usar a app para um trabalho escolar! E claro que também me ajuda muito como inspiração.

João S

utilizador iOS

Esta app é realmente incrível. Há tantas anotações de estudo e ajuda [...]. A minha disciplina problemática é Francês, por exemplo, e a app tem muitas opções de ajuda. Graças a esta app, melhorei o meu Francês. Eu recomendo a qualquer pessoa.

Sara C.

utilizadora Android

Uau, estou realmente impressionado. Acabei de experimentar o app porque o vi anunciado muitas vezes e fiquei absolutamente surpreso. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece tantas coisas, como exercícios e folhas de fatos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.

Ana

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Eu costumava ter dificuldade para completar os meus trabalhos a tempo até descobrir a Knowunity, que não só facilita o upload do meu próprio conteúdo, mas também oferece ótimos resumos que tornam o meu trabalho mais rápido e eficiente.

Tomás R

utilizador iOS

Sempre foi um desafio encontrar todas as informações importantes para os meus trabalhos – desde que comecei a usar a Knowunity, posso simplesmente fazer upload do meu conteúdo e aproveitar os resumos dos outros, o que me ajuda muito com a organização.

Luísa M

utilizadora Android

Eu frequentemente sentia que não tinha uma visão geral suficiente ao estudar, mas desde que comecei a usar o Knowunity, isso não acontece mais – faço upload do meu conteúdo e encontro sempre resumos úteis na plataforma, o que torna meu aprendizado muito mais fácil.

David F

utilizador iOS

O app é simplesmente incrível! Só preciso digitar o tema na barra de pesquisa e recebo a resposta super rápido. Não preciso assistir 10 vídeos no YouTube para entender algo, então economizo meu tempo. Super recomendo!

Marco O

utilizador Android

Na escola eu era péssimo em matemática, mas graças ao app, estou me saindo melhor agora. Sou muito grato por vocês terem criado o app.

André B

utilizador Android

Costumava ser muito difícil reunir todas as informações para minhas apresentações. Mas desde que comecei a usar o Knowunity, só preciso de carregar os meus apontamentos e encontrar resumos incríveis de outros - isso torna meu estudo muito mais eficiente!

Júlia S

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Estava constantemente stressado com todo o material de estudo, mas desde que comecei a usar a Knowunity, carrego as minhas coisas e vejo os resumos dos outros - isto ajuda-me a gerir tudo melhor e é muito menos stressante.

Marco B

utilizador iOS

Foi sempre complicado encontrar os materiais certos para os meus trabalhos. Agora faço upload das minhas anotações na Knowunity e vejo os melhores resumos dos outros - isto realmente ajudou-me a entender tudo mais rápido e melhora as minhas notas.

Sarah L

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Eu costumava passar horas no Google à procura de materiais escolares, mas agora só carrego as minhas coisas na Knowunity e vejo os resumos dos outros - sinto-me muito mais confiante quando me preparo para testes.

Paulo T

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B

Bruna Martins

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A Matemática Discreta é a base para muitos conceitos em computação e análise combinatória. Nestes apontamentos, exploramos operações fundamentais como as Leis de Morgan, fatoriais e técnicas de contagem (arranjos, permutações e combinações) que são essenciais para resolver problemas de... Mostrar mais

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Fundamentos da Análise Combinatória

As Leis de Morgan são regras fundamentais na teoria de conjuntos que nos permitem manipular operações entre conjuntos:

  • A∩B‾=A‾∪B‾\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B} (O complementar da interseção é igual à união dos complementares)
  • AUB‾=A‾∩B‾\overline{AUB}=\overline{A}\cap\overline{B} (O complementar da união é igual à interseção dos complementares)

O fatorial de um número natural m, representado por m!, é o produto de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a m: m! = m × m−1m-1 × m−2m-2 × ... × 2 × 1

💡 Lembra-te que 0! = 1 por definição, o que é uma convenção matemática muito útil em fórmulas combinatórias!

Os arranjos são configurações onde a ordem dos elementos importa:

  • Arranjos com repetição: Quando selecionamos k elementos entre n elementos, com a ordem a importar e podendo repetir elementos. Calculado por: CA′k=nk{CA^{\prime}}_{k}=n^k
  • Arranjos sem repetição: Quando selecionamos k elementos entre n elementos, com a ordem a importar e sem repetir elementos. Calculado por: nAk=n!(n−k)!^{n}A_k=\frac{n!}{(n-k)!}

As permutações são casos especiais de arranjos onde usamos todos os elementos disponíveis. Representadas por Pn=n!P_{n}=n!

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Combinações

As combinações representam o número de subconjuntos de k elementos que podemos formar a partir de um conjunto com n elementos, quando a ordem dos elementos não importa.

A fórmula para calcular combinações é: nCk=nAkk!^n C_k = \frac{^n A_k}{k!} ou, alternativamente, nCk=n!k!(n−k)!^n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Ao contrário dos arranjos, nas combinações apenas nos interessa quais elementos estão presentes no subconjunto, e não a ordem em que eles aparecem. Isto é útil em situações como selecionar uma equipa ou escolher cartas em jogos.

⚠️ Não confundas combinações com arranjos! Nas combinações, {A,B,C} é igual a {C,B,A}, enquanto nos arranjos estas seriam configurações diferentes.

As combinações são especialmente importantes em probabilidade, estatística, e em problemas do quotidiano onde precisamos contar o número de possíveis grupos que podem ser formados.

--- OCR Start --- Leis de Morgan $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$ $\overline{AUB}=\overline{A}\cap\overline{B}$ Fatorial de

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Onde posso fazer o download da app Knowunity?

Pode descarregar a aplicação na Google Play Store e na Apple App Store.

Como posso receber o meu pagamento? Quanto posso ganhar?

Sim, tem acesso gratuito ao conteúdo da aplicação e ao nosso companheiro de IA. Para desbloquear determinadas funcionalidades da aplicação, pode adquirir o Knowunity Pro.

2

Ferramentas Inteligentes NOVO

Transforma estes apontamentos em: ✓ 50+ Questões de Prática ✓ Cartões de Estudo Interactivos ✓ Exame Simulado Completo ✓ Esquemas de Ensaio

Exame Simulado
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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

A App é muito fácil de usar e está nem organizada. Encontrei tudo o que estava à procura até agora e consegui aprender muito com as apresentações! Vou usar a app para um trabalho escolar! E claro que também me ajuda muito como inspiração.

João S

utilizador iOS

Esta app é realmente incrível. Há tantas anotações de estudo e ajuda [...]. A minha disciplina problemática é Francês, por exemplo, e a app tem muitas opções de ajuda. Graças a esta app, melhorei o meu Francês. Eu recomendo a qualquer pessoa.

Sara C.

utilizadora Android

Uau, estou realmente impressionado. Acabei de experimentar o app porque o vi anunciado muitas vezes e fiquei absolutamente surpreso. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece tantas coisas, como exercícios e folhas de fatos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.

Ana

utilizadora iOS

Eu costumava ter dificuldade para completar os meus trabalhos a tempo até descobrir a Knowunity, que não só facilita o upload do meu próprio conteúdo, mas também oferece ótimos resumos que tornam o meu trabalho mais rápido e eficiente.

Tomás R

utilizador iOS

Sempre foi um desafio encontrar todas as informações importantes para os meus trabalhos – desde que comecei a usar a Knowunity, posso simplesmente fazer upload do meu conteúdo e aproveitar os resumos dos outros, o que me ajuda muito com a organização.

Luísa M

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Eu frequentemente sentia que não tinha uma visão geral suficiente ao estudar, mas desde que comecei a usar o Knowunity, isso não acontece mais – faço upload do meu conteúdo e encontro sempre resumos úteis na plataforma, o que torna meu aprendizado muito mais fácil.

David F

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O app é simplesmente incrível! Só preciso digitar o tema na barra de pesquisa e recebo a resposta super rápido. Não preciso assistir 10 vídeos no YouTube para entender algo, então economizo meu tempo. Super recomendo!

Marco O

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Na escola eu era péssimo em matemática, mas graças ao app, estou me saindo melhor agora. Sou muito grato por vocês terem criado o app.

André B

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Costumava ser muito difícil reunir todas as informações para minhas apresentações. Mas desde que comecei a usar o Knowunity, só preciso de carregar os meus apontamentos e encontrar resumos incríveis de outros - isso torna meu estudo muito mais eficiente!

Júlia S

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Estava constantemente stressado com todo o material de estudo, mas desde que comecei a usar a Knowunity, carrego as minhas coisas e vejo os resumos dos outros - isto ajuda-me a gerir tudo melhor e é muito menos stressante.

Marco B

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Foi sempre complicado encontrar os materiais certos para os meus trabalhos. Agora faço upload das minhas anotações na Knowunity e vejo os melhores resumos dos outros - isto realmente ajudou-me a entender tudo mais rápido e melhora as minhas notas.

Sarah L

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Eu costumava passar horas no Google à procura de materiais escolares, mas agora só carrego as minhas coisas na Knowunity e vejo os resumos dos outros - sinto-me muito mais confiante quando me preparo para testes.

Paulo T

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A App é muito fácil de usar e está nem organizada. Encontrei tudo o que estava à procura até agora e consegui aprender muito com as apresentações! Vou usar a app para um trabalho escolar! E claro que também me ajuda muito como inspiração.

João S

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Esta app é realmente incrível. Há tantas anotações de estudo e ajuda [...]. A minha disciplina problemática é Francês, por exemplo, e a app tem muitas opções de ajuda. Graças a esta app, melhorei o meu Francês. Eu recomendo a qualquer pessoa.

Sara C.

utilizadora Android

Uau, estou realmente impressionado. Acabei de experimentar o app porque o vi anunciado muitas vezes e fiquei absolutamente surpreso. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece tantas coisas, como exercícios e folhas de fatos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.

Ana

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Eu costumava ter dificuldade para completar os meus trabalhos a tempo até descobrir a Knowunity, que não só facilita o upload do meu próprio conteúdo, mas também oferece ótimos resumos que tornam o meu trabalho mais rápido e eficiente.

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Sempre foi um desafio encontrar todas as informações importantes para os meus trabalhos – desde que comecei a usar a Knowunity, posso simplesmente fazer upload do meu conteúdo e aproveitar os resumos dos outros, o que me ajuda muito com a organização.

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Eu frequentemente sentia que não tinha uma visão geral suficiente ao estudar, mas desde que comecei a usar o Knowunity, isso não acontece mais – faço upload do meu conteúdo e encontro sempre resumos úteis na plataforma, o que torna meu aprendizado muito mais fácil.

David F

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O app é simplesmente incrível! Só preciso digitar o tema na barra de pesquisa e recebo a resposta super rápido. Não preciso assistir 10 vídeos no YouTube para entender algo, então economizo meu tempo. Super recomendo!

Marco O

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Na escola eu era péssimo em matemática, mas graças ao app, estou me saindo melhor agora. Sou muito grato por vocês terem criado o app.

André B

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Costumava ser muito difícil reunir todas as informações para minhas apresentações. Mas desde que comecei a usar o Knowunity, só preciso de carregar os meus apontamentos e encontrar resumos incríveis de outros - isso torna meu estudo muito mais eficiente!

Júlia S

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Estava constantemente stressado com todo o material de estudo, mas desde que comecei a usar a Knowunity, carrego as minhas coisas e vejo os resumos dos outros - isto ajuda-me a gerir tudo melhor e é muito menos stressante.

Marco B

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Foi sempre complicado encontrar os materiais certos para os meus trabalhos. Agora faço upload das minhas anotações na Knowunity e vejo os melhores resumos dos outros - isto realmente ajudou-me a entender tudo mais rápido e melhora as minhas notas.

Sarah L

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Eu costumava passar horas no Google à procura de materiais escolares, mas agora só carrego as minhas coisas na Knowunity e vejo os resumos dos outros - sinto-me muito mais confiante quando me preparo para testes.

Paulo T

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